Question

已知拋物線的焦點(diǎn)為F₂，點(diǎn)F₁與F₂關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，以F₁,F₂為焦點(diǎn)的橢圓C過點(diǎn).
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)，過點(diǎn)F₂作直線與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)，且，若的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（Ⅱ）.

試題分析：（Ⅰ）由拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)與關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，以，為焦點(diǎn)的橢圓C過點(diǎn)，故可用待定系數(shù)法求橢圓方程，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由條件求出即可；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)，過點(diǎn)F₂作直線與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)，且，若的取值范圍，這是直線與圓錐曲線交點(diǎn)問題，可采用設(shè)而不求的解題思想，設(shè)出直線的方程（注意需討論斜率不存在情況），與Ａ，Ｂ兩點(diǎn)坐標(biāo)，利用根與系數(shù)關(guān)系來解，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直接求解A，B的坐標(biāo)得到的值，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，和橢圓方程聯(lián)立后，利用，消掉點(diǎn)的坐標(biāo)得到λ與k的關(guān)系，根據(jù)λ的范圍求k的范圍，然后把轉(zhuǎn)化為含有k的函數(shù)式，最后利用基本不等式求出的取值范圍．
試題解析：（Ⅰ）設(shè)橢圓的半焦距為，由題意得，
設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
則  ③
   ④         
將④代入③，解得或（舍去）  
所以       
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為                              4分
（Ⅱ）方法一：
容易驗(yàn)證直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為
將直線的方程代入中得：.       6分
設(shè)，則由根與系數(shù)的關(guān)系，
可得：     ⑤
       ⑥             7分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824024010501694.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，且.
將⑤式平方除以⑥式，得：

由
所以                           10分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240240105941105.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，
又，所以，
故
，
令，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824024010703671.png" style="vertical-align:middle;" />
所以，即，
所以.
而，所以.
所以.                    13分
方法二：
1）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，即時(shí)，，，
又，所以          6分
2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，即時(shí)，設(shè)直線的方程為
由得
設(shè)，顯然，則由根與系數(shù)的關(guān)系，
可得：，                 7分
         ⑤
   ⑥
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824024009533694.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，且.
將⑤式平方除以⑥式得：

由得即
故，解得                 10分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240240105941105.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以，
又，
故
       11分
令，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824024011218585.png" style="vertical-align:middle;" />
所以，即，
所以.
所以                                12分
綜上所述：.                          13分