【題目】已知.
(1)已知是導(dǎo)函數(shù),求的極值;
(2)設(shè),若有兩個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍.
【答案】(1) 極小值為 (2)
【解析】
(1)先求出,再利用導(dǎo)數(shù)求的極值;(2)先求出,再對a分a>0,a=0,a<0三種情況,根據(jù)函數(shù)g(x)有兩個(gè)零點(diǎn)求出a的取值范圍.
解:(1)
①若,顯然所以在R上遞增,所以沒有極值.
②若,則,
所以在上是減函數(shù),在上是增函數(shù).
所以在處取極小值,極小值為
(2).函數(shù)的定義域?yàn)镽,
且.
①若,則.
所以在上是減函數(shù),在上是增函數(shù).
所以.
令,則.
顯然,所以在上是減函數(shù).
又函數(shù)在上是減函數(shù),取實(shí)數(shù),
則
又在上是減函數(shù),在上是增函數(shù).
由零點(diǎn)存在性定理,在,上各有一個(gè)唯一的零點(diǎn).所以符合題意.
②若,則,顯然僅有一個(gè)零點(diǎn)1,所以不符合題意.
③若,則.
(i)若,則,此時(shí),
即在R上遞增,至多只有一個(gè)零點(diǎn),
所以不符合題意,
(ii)若,則,函數(shù)在上是增函數(shù),
在上是減函數(shù),在上是增函數(shù),
所以在處取得極大值,且極大值,
所以最多有一個(gè)零點(diǎn),所以不符合題意.
(iii)若,則,函數(shù)在和上遞增,在上遞減,所以在處取得極大值,且極大值為,所以最多有一個(gè)零點(diǎn),所以不符合題意.
綜上所述,a的取值范圍是
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某土特產(chǎn)超市為預(yù)估2020年元旦期間游客購買土特產(chǎn)的情況,對2019年元旦期間的90位游客購買情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì),得到如下人數(shù)分布表.
購買金額(元) | ||||||
人數(shù) | 10 | 15 | 20 | 15 | 20 | 10 |
(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認(rèn)為購買金額是否少于60元與性別有關(guān).
不少于60元 | 少于60元 | 合計(jì) | |
男 | 40 | ||
女 | 18 | ||
合計(jì) |
(2)為吸引游客,該超市推出一種優(yōu)惠方案,購買金額不少于60元可抽獎3次,每次中獎概率為(每次抽獎互不影響,且的值等于人數(shù)分布表中購買金額不少于60元的頻率),中獎1次減5元,中獎2次減10元,中獎3次減15元.若游客甲計(jì)劃購買80元的土特產(chǎn),請列出實(shí)際付款數(shù)(元)的分布列并求其數(shù)學(xué)期望.
附:參考公式和數(shù)據(jù):,.
附表:
2.072 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | |
0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.005 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD是矩形,AB=1,BC=,AA1=2,E是側(cè)棱BB1的中點(diǎn).
(1)求證:A1E⊥平面AED;
(2)求二面角A﹣A1D﹣E的大。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在長方體中,,,,平面截長方體得到一個(gè)矩形,且,.
(1)求截面把該長方體分成的兩部分體積之比;
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在長方體ABCD-A1B1C1D1中(如圖),AD=AA1=1,AB=2,點(diǎn)E是棱AB的中點(diǎn).
(1)求異面直線AD1與EC所成角的大小;
(2)《九章算術(shù)》中,將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑,試問四面體D1CDE是否為鱉臑?并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓,、為橢圓的左、右焦點(diǎn),為橢圓上一點(diǎn),且.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)直線,過點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn),線段的垂直平分線分別交直線、直線于、兩點(diǎn),當(dāng)最小時(shí),求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知是關(guān)于的方程組的解.
(1)求證:;
(2)設(shè)分別為三邊長,試判斷的形狀,并說明理由;
(3)設(shè)為不全相等的實(shí)數(shù),試判斷是“”的 條件,并證明.①充分非必要;②必要非充分;③充分且必要;④非充分非必要.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】端午節(jié)是中國傳統(tǒng)節(jié)日之一節(jié)日期間,各大商場各種品牌的“粽子戰(zhàn)”便悄然打響.某記者走訪市場發(fā)現(xiàn),各大商場粽子種類繁多,價(jià)格不一根據(jù)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析,得到了某商場不同種類的粽子銷售價(jià)格(單位:元/千克)的頻數(shù)分布表,如表一所示.
表一:
價(jià)格/(元/千克) | [10,15) | [15,20) | [20,25) | [25,30) | [30,35) |
種類數(shù) | 4 | 12 | 16 | 6 | 2 |
在調(diào)查中,記者還發(fā)現(xiàn),各大品牌在餡料方面還做足了功課,滿足了市民多樣化的需求除了蜜棗、豆沙等傳統(tǒng)餡料粽,很多品牌還推出了鮮肉、巧克力、海鮮等特色餡料粽在該商場內(nèi),記者隨機(jī)對100名顧客的年齡和粽子口味偏好進(jìn)行了調(diào)查,結(jié)果如表二.
表二:
喜歡傳統(tǒng)餡料粽 | 喜歡特色餡料粽 | 總計(jì) | |
40歲以下 | 30 | 15 | 45 |
40歲及以上 | 50 | 5 | 55 |
總計(jì) | 80 | 20 | 100 |
(1)根據(jù)表一估計(jì)該商場粽子的平均銷售價(jià)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表);
(2)根據(jù)表二信息能否有95%的把握認(rèn)為顧客的粽子口味偏好與年齡有關(guān)?
參考公式和數(shù)據(jù):(其中為樣本容量)
P(K2≥k0) | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k0 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市在開展創(chuàng)建“全國文明城市”活動中,工作有序扎實(shí),成效顯著,尤其是城市環(huán)境衛(wèi)生大為改觀,深得市民好評.“創(chuàng)文”過程中,某網(wǎng)站推出了關(guān)于環(huán)境治理和保護(hù)問題情況的問卷調(diào)查,現(xiàn)從參與問卷調(diào)查的人群中隨機(jī)選出200人,并將這200人按年齡分組:第1組,第2組,第3組,第4組,第5組,得到的頻率分布直方圖如圖所示.
(1)求出a的值;
(2)若已從年齡較小的第1,2組中用分層抽樣的方法抽取5人,現(xiàn)要再從這5人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行問卷調(diào)查,求第2組恰好抽到2人的概率.
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