Question

【題目】已知數(shù)列{an}滿足：a1=1，an+1= an+ （n∈N*）．
（1）求最小的正實(shí)數(shù)M，使得對(duì)任意的n∈N* ， 恒有0＜an≤M．
（2）求證：對(duì)任意的n∈N* ， 恒有 ≤an≤ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：最小的正實(shí)數(shù)M=1，即使得對(duì)任意的n∈N*，恒有0＜an≤1．

下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)n=1時(shí)，a1=1成立；

②假設(shè)n=k（k∈N*）時(shí)，對(duì)任意的k∈N*，恒有0＜ak≤1．

則n=k+1時(shí)，易知k＜2k，

∴0＜ak+1= + ＜ ≤ ＜ + =1，

因此當(dāng)n=k+1時(shí)假設(shè)成立，

綜上可得：最小的正實(shí)數(shù)M=1，使得對(duì)任意的n∈N*，恒有0＜an≤M

（2）證明：先證明右邊：由（1）可得：0＜an≤1．

∴an+1= an+ =an ≤an（ ）≤an（ ）≤an（ ）= an，（2n≤2n）．

∴an≤ ≤ = ，因此右邊成立．

證明左邊：下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)n=1時(shí)，a1=1= ，成立；

②假設(shè)n=k（k∈N*）時(shí)，對(duì)任意的k∈N*，恒有ak≥ ．

則n=k+1時(shí)，要證明：ak+1≥ ，

又ak+1= + ，

∴只要證明： + ≥ ，

化為：k（5×2k+4） +2kak﹣182k≥0，

解出：ak≥ ≥ = ．

因此當(dāng)n=k+1時(shí)也成立，

綜上①②可得：左邊成立．

因此：對(duì)任意的n∈N*，恒有 ≤an≤

【解析】（1）最小的正實(shí)數(shù)M=1，即使得對(duì)任意的n∈N* ， 恒有0＜an≤1．利用數(shù)學(xué)歸納法即可證明．（2）先證明右邊：由（1）可得：0＜an≤1．通過放縮：an+1= an+ =an ≤an（ ） an ， （2n≤2n）．可得：an≤ ．證明左邊：利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可得出．
【考點(diǎn)精析】掌握數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式是解答本題的根本，需要知道數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．