【題目】如圖,某市效外景區(qū)內(nèi)一條筆直的公路經(jīng)過三個(gè)景點(diǎn)A、B、C.景區(qū)管委會(huì)又開發(fā)了風(fēng)景優(yōu)美的景點(diǎn)D.經(jīng)測量景點(diǎn)D位于景點(diǎn)A的北偏東30°方向且距A 8 km處,且位于景點(diǎn)B的正北方向,還位于景點(diǎn)C的北偏西75°方向 上,已知AB=5 km,AD>BD.
(1)景區(qū)管委會(huì)準(zhǔn)備由景點(diǎn)D向景點(diǎn)B修建一條筆直的公路,不考慮其他因素,求出這條公路的長;
(2)求∠ACD的正弦值.
【答案】(1) 這條公路長為(4-3)km. (2)
【解析】
試題分析: (1)過點(diǎn)作于點(diǎn),過點(diǎn)作,交的延長線于點(diǎn),求的問題就可以轉(zhuǎn)化為求 的度數(shù)或三角函數(shù)值的問題.
(2)在中,由正弦定理可得 ,在 中 則由 即可得到 的正弦值.
試題解析:( (1)△ABD中,∠ADB=30°,AD=8km,AB=5km,設(shè)DB=x km.
則由余弦定理得52=82+x2-2×8×x·cos30°,即x2-8x+39=0,解得x=4±3.
∵4+3>8,舍去,∴x=4-3,
∴這條公路長為(4-3)km.
(2)在△ADB中,=,
∴sin∠DAB==,
∴cos∠DAB=.
在△ACD中,∠ADC=30°+75°=105°,
cos105°=cos(60°+45°)
=cos60°cos45°-sin60°sin45°=,
sin105°=sin(60°+45°)=,
∴sin∠ACD=sin[180°-(∠DAC+105°)]
=sin(∠DAC+105°)
=sin∠DAC·cos105°+cos∠DAC·sin105°
=×+×
=.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù), .
(1)求的單調(diào)區(qū)間和極值;
(2)證明:若存在零點(diǎn),則在區(qū)間上僅有一個(gè)零點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義在上的函數(shù)滿足,.
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(3)如果、、滿足,那么稱比更靠近.當(dāng)且時(shí),試比較和哪個(gè)更靠近,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,且,當(dāng)時(shí), ,.
(1)求和;
(2)證明函數(shù)在上單調(diào)遞增;
(3)求不等式的解集.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知f(x),g(x).
(Ⅰ)判斷f(x)的奇偶性,并說明理由;
(Ⅱ)探究g(x)的單調(diào)性,并證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在如圖所示的幾何體中,四邊形為平行四邊形, 平面,且是的中點(diǎn).
(1)求證: 平面;
(2)求二面角的余弦值的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的圖像與x軸相鄰的兩交點(diǎn)間的距離為,把函數(shù)的圖像沿x軸向左平移個(gè)單位,得到函數(shù)的圖像,關(guān)于函數(shù),現(xiàn)有如下命題:
①在上是減函數(shù);②其圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱;
③函數(shù)是奇函數(shù);④當(dāng)時(shí),函數(shù)的值域?yàn)?/span>.
其中真命題的個(gè)數(shù)為( )
A.1B.2C.3D.4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),將函數(shù)的圖象沿軸向左平移個(gè)單位長度后,又沿軸向上平移1個(gè)單位,再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>倍,縱坐標(biāo)不變,得到函數(shù)的圖象.
(1)求的對(duì)稱中心;
(2)若,求的值域.
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