【題目】已知函數(shù)f(x)=bx﹣axlnx(a>0)的圖象在點(1,f(1))處的切線與直線平y(tǒng)=(1﹣a)x行.
(1)若函數(shù)y=f(x)在[e,2e]上是減函數(shù),求實數(shù)a的最小值;
(2)設g(x)= ,若存在x1∈[e,e2],使g(x1)≤ 成立,求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】
(1)解:f′(x)=b﹣a﹣alnx,

∴f′(1)=b﹣a,

∴b﹣a=1﹣a,b=1,

∴f(x)=x﹣axlnx,

函數(shù)y=f(x)在[e,2e]上是減函數(shù),

∴f′(x)=1﹣a﹣alnx≤0在[e,2e]上恒成立,

即a≥ 在[e,2e]上恒成立,

∵h(x)= 在[e,2e]上遞減,

∴h(x)的最大值是

∴實數(shù)a的最小值是


(2)解:∵g(x)= = ﹣ax,

∴g′(x)= =﹣ + ﹣a,

故當 = 即x=e2時,g′(x)max= ﹣a,

若存在x1∈[e,e2],使g(x1)≤ 成立,

等價于x1∈[e,e2]時,有g(x)min 成立,

當a≥ 時,g(x)在[e,e2]上遞減,

∴g(x)min=g(e2)= ﹣ae2 ,故a≥ ,

當0<a< 時,由于g′(x)在[e,2e]上遞增,

故g′(x)的值域是[﹣a, ﹣a],

由g′(x)的單調性和值域知:

存在x0∈[e,e2],使g′(x)=0,且滿足:

x∈[e,x0),g′(x)<0,g(x)遞減,x∈(x0,e2],g′(x)>0,g(x)遞增,

∴g(x)min=g(x0)= ,x0∈(e,e2),

∴a≥ ,與0<a< 矛盾,不合題意,

綜上:a≥


【解析】(1)求出函數(shù)的導數(shù),得到b﹣a=1﹣a,解出b,求出函數(shù)的解析式,問題轉化為a≥ 在[e,2e]上恒成立,根據(jù)函數(shù)的單調性求出a的范圍即可;(2)問題等價于x1∈[e,e2]時,有g(x)min 成立,通過討論a的范圍結合函數(shù)的單調性求出a的具體范圍即可.
【考點精析】掌握利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性是解答本題的根本,需要知道一般的,函數(shù)的單調性與其導數(shù)的正負有如下關系: 在某個區(qū)間內,(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞減.

練習冊系列答案
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