【題目】已知直線與拋物線: 相交于, 兩點, 是線段的中點,過作軸的垂線交于點.
(Ⅰ)證明:拋物線在點處的切線與平行;
(Ⅱ)是否存在實數(shù)使?若存在,求的值;若不存在,說明理由.
【答案】(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ)存在, .
【解析】試題分析:(Ⅰ)直線方程與拋物線方程聯(lián)立,設(shè), 得到根與系數(shù)的關(guān)系,并利用中點坐標(biāo)等求點的坐標(biāo),并且設(shè)切線方程為 ,與拋物線方程聯(lián)立, ,解得 ,得證;(Ⅱ) 中,斜邊的中線等于斜邊的一半,所以 ,利用兩點間距離和弦長公式,建立等量關(guān)系求 .
試題解析:(Ⅰ)由 消去并整理,得,
設(shè),則,
, ,
由題設(shè)條件可知, , , ,
設(shè)拋物線在點處的切線的方程為 ,
將代入上式,得,
直線與拋物線相切,
,
,即.
(Ⅱ)假設(shè)存在實數(shù),使,則,
是的中點, ,
由(Ⅰ)得
軸,
,
,解得,
故存在,使.
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【題目】設(shè)點P(x,y)是曲線a|x|+b|y|=1(a≥0,b≥0)上任意一點,其坐標(biāo)(x,y)均滿足 ,則 a+b取值范圍為( )
A.(0,2]
B.[1,2]
C.[1,+∞)
D.[2,+∞)
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【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時,求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)當(dāng)時,設(shè)函數(shù).若函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】正四棱錐P﹣ABCD,B1為PB的中點,D1為PD的中點,則兩個棱錐A﹣B1CD1 , P﹣ABCD的體積之比是( )
A.1:4
B.3:8
C.1:2
D.2:3
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【題目】已知集合A={x|1≤x≤7},B={x|﹣2m+1<x<m},全集為實數(shù)集R.
(1)若m=5,求A∪B,(RA)∩B;
(2)若A∩B=A,求m的取值范圍.
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【題目】設(shè)命題p:(4x﹣3)2≤1;命題q:x2﹣(2a+1)x+a(a+1)≤0,若¬p是¬q的必要不充分條件,求實數(shù)a的取值范圍.
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【題目】橢圓C: =1(a>b>0)的離心率為 ,其左焦點到點P(2,1)的距離為 .
(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)若直線l:y=kx+m與橢圓C相交于A,B兩點(A,B不是左右頂點),且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點.求證:直線l過定點,并求出該定點的坐標(biāo).
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【題目】(Ⅰ)求不等式﹣x2﹣2x+3<0的解集(用集合或區(qū)間表示) (Ⅱ)求不等式|x﹣3|<1的解集(用集合或區(qū)間表示)
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