【題目】橢圓C: =1(a>b>0)的離心率為 ,其左焦點到點P(2,1)的距離為 .
(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)若直線l:y=kx+m與橢圓C相交于A,B兩點(A,B不是左右頂點),且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點.求證:直線l過定點,并求出該定點的坐標(biāo).
【答案】解:(Ⅰ)∵左焦點(﹣c,0)到點P(2,1)的距離為 ,∴ ,解得c=1.
又 ,解得a=2,∴b2=a2﹣c2=3.
∴所求橢圓C的方程為: .
(Ⅱ)設(shè)A(x1 , y1),B(x2 , y2),由 得(3+4k2)x2+8mkx+4(m2﹣3)=0,
△=64m2k2﹣16(3+4k2)(m2﹣3)>0,化為3+4k2>m2 .
∴ , .
y1y2=(kx1+m)(kx2+m)= = .
∵以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點D(2,0),kADkBD=﹣1,∴ ,
∴y1y2+x1x2﹣2(x1+x2)+4=0,∴ .
化為7m2+16mk+4k2=0,解得m1=﹣2k, .
, 且滿足3+4k2﹣m2>0.
當(dāng)m=﹣2k時,l:y=k(x﹣2),直線過定點(2,0)與已知矛盾;
當(dāng)m=﹣ 時,l:y=k ,直線過定點 .
綜上可知,直線l過定點,定點坐標(biāo)為 .
【解析】(Ⅰ)利用兩點間的距離公式可得c,再利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)即可得出a,b;(Ⅱ)把直線l的方程與橢圓的方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系,再利用以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點D,可得kADkBD=﹣1,即可得出m與k的關(guān)系,從而得出答案.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在數(shù)列{an}中,a1=1,Sn+1=4an+2,則a2013的值為( )
A.3019×22012
B.3019×22013
C.3018×22012
D.無法確定
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【題目】已知直線與拋物線: 相交于, 兩點, 是線段的中點,過作軸的垂線交于點.
(Ⅰ)證明:拋物線在點處的切線與平行;
(Ⅱ)是否存在實數(shù)使?若存在,求的值;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=﹣ sinx cosx+1 (Ⅰ)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)若x∈[0, ],且f(x)= ,求cosx的值.
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【題目】在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中,B1 C和C1D與底面A1B1C1D1所成的角分別為60°和45°,則異面直線B1C和C1D所成角的余弦值為( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】某廠每日生產(chǎn)一種大型產(chǎn)品1件,每件產(chǎn)品的投入成本為2000元.產(chǎn)品質(zhì)量為一等品的概率為,二等品的概率為,每件一等品的出廠價為10000元,每件二等品的出廠價為8000元.若產(chǎn)品質(zhì)量不能達到一等品或二等品,除成本不能收回外,沒生產(chǎn)一件產(chǎn)品還會帶來1000元的損失.
(1)求在連續(xù)生產(chǎn)3天中,恰有一天生產(chǎn)的兩件產(chǎn)品都為一等品的的概率;
(2)已知該廠某日生產(chǎn)的2件產(chǎn)品中有一件為一等品,求另一件也為一等品的概率;
(3)求該廠每日生產(chǎn)該種產(chǎn)品所獲得的利潤(元)的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)(為自然對數(shù)的底數(shù)),, .
(1)若是的極值點,且直線分別與函數(shù)和的圖象交于,求兩點間的最短距離;
(2)若時,函數(shù)的圖象恒在的圖象上方,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知條件p:x2﹣3x﹣4≤0;條件q:x2﹣6x+9﹣m2≤0,若p是q的充分不必要條件,則m的取值范圍是( )
A.[﹣1,1]
B.[﹣4,4]
C.(﹣∞,﹣1]∪[1,+∞)
D.(﹣∞,﹣4]∪[4,+∞)
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