Question

【題目】已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，該橢圓經(jīng)過點，且離心率為．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過橢圓長軸上一點作兩條互相垂直的弦．若弦的中點分別為，證明：直線恒過定點．

Answer 1

【答案】（1）;（2）．

【解析】

(1)根據(jù)已知得到方程組，解方程組即得橢圓的方程.(2)先求直線MN的方程，，即得直線MN經(jīng)過的定點，再討論當(dāng)時，直線也經(jīng)過定點，綜上所述，直線經(jīng)過定點．當(dāng)時，過定點．

（1）解：∵點在橢圓上，∴，

又∵離心率為，∴，∴，

∴，解得，，

∴橢圓方程為．

（2）證明：設(shè)直線的方程為，，則直線的方程為，

聯(lián)立，得，

設(shè)，，則，，

∴，

由中點坐標(biāo)公式得，

將的坐標(biāo)中的用代換，得的中點，

∴直線的方程為，，

令得，∴直線經(jīng)過定點，

當(dāng)時，直線也經(jīng)過定點，綜上所述，直線經(jīng)過定點．

當(dāng)時，過定點．