一動(dòng)圓與已知⊙O1(x+
2
)2+y2=1
相外切,與⊙O2(x-
2
)2+y2=(2
3
-1)2
相內(nèi)切.
(Ⅰ)求動(dòng)圓圓心的軌跡C;
(Ⅱ)若軌跡C與直線y=kx+m (k≠0)相交于不同的兩點(diǎn)M、N,當(dāng)點(diǎn)A(0,-1)滿足|
AM
|=|
AN
|時(shí),求m的取值范圍.
分析:(Ⅰ)由動(dòng)圓與已知⊙O1(x+
2
)2+y2=1
相外切,可得到|MO1|=1+R,由與⊙O2(x-
2
)2+y2=(2
3
-1)2
相內(nèi)切,可得,|MO2|=(2
3
-1
)-R,從而|MO1|+|MO2|=2
3
.根據(jù)橢圓的定義可得M點(diǎn)的軌跡是以O(shè)1,O2為焦點(diǎn)的橢圓,故可求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(Ⅱ)直線y=kx+m與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程聯(lián)立,消去y得(3k2+1)x2+6mkx+3(m2-1)=0,所以△=-12m2+36k2+12>0⇒m2<3k2+1.設(shè)P為MN的中點(diǎn),則MN⊥AP,可得2m=3k2+1,從而可求m的取值范圍.
解答:解:(Ⅰ)設(shè)動(dòng)圓圓心為M(x,y),半徑為R,則由題設(shè)條件,可知:
|MO1|=1+R,|MO2|=(2
3
-1
)-R,∴|MO1|+|MO2|=2
3

由橢圓定義知:M在以O(shè)1,O2為焦點(diǎn)的橢圓上,且a=
3
,c=
2
,b2=a2-c2=3-2=1,故動(dòng)圓圓心的軌跡方程為
x2
3
+y2=1
.…(4分)
(Ⅱ)設(shè)P為MN的中點(diǎn),聯(lián)立方程組
y=kx+m
x2+3y2-3=0
,⇒(3k2+1)x2+6mkx+3(m2-1)=0.△=-12m2+36k2+12>0⇒m2<3k2+1 …(1)…(6分)
xM+xN=
-6mk
3k2+1
xP=
-3mk
3k2+1
,yP=kxP+m=
m
3k2+1
kAP=
m+3k2+1
-3km

由MN⊥AP⇒
m+3k2+1
-3km
=
1
k
⇒2m=3k2+1
…(2)…(9分)
把(2)代入(1)得:2m>m2⇒0<m<2
又由(2)得:k2=
2m-1
3
>0⇒m>
1
2
1
2
<m<2
.故m∈(
1
2
,2)
.…(12分)
點(diǎn)評(píng):本題考查圓與圓的位置關(guān)系,橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程,得到|MO1|+|MO2|>|O1O2|是解題的關(guān)鍵.考查直線與橢圓的位置關(guān)系,掌握其常規(guī)方法.
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