一動(dòng)圓與已知圓O1(x+2)2+y2=1外切,與圓O2(x-2)2+y2=49內(nèi)切,
(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡方程C;
(2)已知點(diǎn)A(2,3),O(0,0)是否存在平行于OA的直線(xiàn) l與曲線(xiàn)C有公共點(diǎn),且直線(xiàn)OA與l的距離等于4?若存在,求出直線(xiàn)l的方程;若不存在,說(shuō)明理由.
分析:(1)根據(jù)兩圓的方程,算出它們的圓心分別為O1(-2,0)、O2(2,0),半徑分別為1和7.設(shè)動(dòng)圓的圓心為M、半徑為R,根據(jù)兩圓相切的性質(zhì)證出|O1M|+|O2M|=(r1+R)+(r2-R)=r1+r2=8(定值),從而得到圓心M在以O(shè)1、O2為焦點(diǎn)的橢圓上運(yùn)動(dòng),結(jié)合題意算出a、b之值,可得動(dòng)圓圓心的軌跡方程為
x2
16
+
y2
12
=1
;
(2)求出直線(xiàn)OA的斜率為k=
3
2
,設(shè)符合題意的直線(xiàn)l方程為y=
3
2
x+t,將l方程與橢圓
x2
16
+
y2
12
=1
消去y得到關(guān)于x的一元二次方程,由直線(xiàn)l與橢圓有公共點(diǎn),利用根的判別式解出-4
3
≤t≤4
3
.再由直線(xiàn)OA與l的距離等于4,利用平行線(xiàn)之間的距離公式列式算出t=±2
13
∉[-4
3
,4
3
],得到矛盾,故符合題意的直線(xiàn)l不存在.
解答:解:(1)∵圓O1的方程為:(x+2)2+y2=1,
∴圓O1的圓心為(-2,0),半徑r1=1;同理圓O2的圓心為(2,0),半徑r2=7.
設(shè)動(dòng)圓的半徑為R、圓心為M,圓M與圓O1外切于點(diǎn)E,圓M與圓O2內(nèi)切于點(diǎn)F,連結(jié)O1M、O2F,精英家教網(wǎng)
則E點(diǎn)在O1M上,M在O2F上.
∵|O1M|=|O1E|+|EM|,|O2M|=|O2F|-|MF|,
∴|O1M|=r1+R,|O2M|=r2-R,
兩式相加得:|O1M|+|O2M|=r1+r2=1+7=8(定值),
∴圓心M在以O(shè)1、O2為焦點(diǎn)的橢圓上運(yùn)動(dòng),
由2a=8,c=2,得a=4,b=
a2-c2
=2
3
,
橢圓方程為
x2
16
+
y2
12
=1

即動(dòng)圓圓心的軌跡方程為C:
x2
16
+
y2
12
=1

(2)直線(xiàn)OA的斜率為k=
3-0
2-0
=
3
2
,則平行于OA的直線(xiàn)l的斜率也是
3
2

假設(shè)存在符合題意的直線(xiàn)l,設(shè)其方程為y=
3
2
x+t,
y=
3
2
x+t
x2
16
+
y2
12
=1
消去y,得3x2+3tx+t2-12=0,
∵直線(xiàn)l與橢圓有公共點(diǎn),
∴△=(3t)2-4×3×(t2-12)≥0,解得-4
3
≤t≤4
3
,
另一方面,由直線(xiàn)OA:
3
2
x-y=0與l:
3
2
x-y+t=0的距離為
|t|
(
3
2
)
2
+(-1)2
=4,解之得t=±2
13

由于±2
13
∉[-4
3
,4
3
],所以符合題意的直線(xiàn)l不存在.
點(diǎn)評(píng):本題求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程,并探索所得軌跡與直線(xiàn)l是否有公共點(diǎn)的問(wèn)題.著重考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓與圓的位置關(guān)系、平行線(xiàn)之間的距離公式、直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系和動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求法等知識(shí),屬于中檔題.
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