Question

求證：方程ax²+2x+1=0有且只有一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)根的充要條件．

Answer 1

考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷

專(zhuān)題：簡(jiǎn)易邏輯

分析：根據(jù)充分條件和必要條件的定義進(jìn)行求解即可．

解答： 解：必要性：若方程ax²+2x+1=0有且僅有一個(gè)負(fù)根．
當(dāng)a=0時(shí)，適合條件．
當(dāng)a≠0時(shí)，方程ax²+2x+1=0有實(shí)根，
則△=4（1-a）≥0，∴a≤1，
當(dāng)a=1時(shí)，方程有一個(gè)負(fù)根x=-1．
若方程有且僅有一負(fù)根，則

a＜1 1 a ＜0

，∴a＜0，
即a≤0或a=1．
充分性：當(dāng)a=0時(shí)，方程變?yōu)?x+1=0，其根為x=-

1

2

，方程只有一個(gè)負(fù)根；
當(dāng)a=1時(shí)，方程為x²+2x+1=0．其根為x=-1，
方程只有一個(gè)負(fù)根．
當(dāng)a＜0時(shí)，△=4（1-a）＞0，方程有兩個(gè)不相等的根，且

1

a

＜0，方程有一正一負(fù)根．
綜上方程ax²+2x+1=0有且僅有一負(fù)根的充要條件為a≤0或a=1

點(diǎn)評(píng)：本題借助充分與必要條件考查了一元二次方程根的存在問(wèn)題，屬于中檔題．