【題目】已知x=1是函數(shù)f(x)=mx3﹣3(m+1)x2+nx+1的一個極值點,其中m,n∈R,m<0.
(1)求m與n的關系表達式;
(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)當x∈[﹣1,1]時,函數(shù)y=f(x)的圖象上任意一點的切線斜率恒大于3m,求m的取值范圍.
【答案】(1)n=3m+6.(2)f(x)在(﹣∞,1)單調(diào)遞減,在(1,1)單調(diào)遞增,在(1,+∞)單調(diào)遞減.(3)m<0.
【解析】
(1)求出f′(x),因為x=1是函數(shù)的極值點,所以得到f'(1)=0求出m與n的關系式;
(2)令f′(x)=0求出函數(shù)的極值點,討論函數(shù)的增減性確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(3)由題意知f′(x)>3m,分x=1和x≠1,當x≠1時g(t)=t,求出g(t)的最小值.要使(x﹣1)恒成立即要g(t)的最小值,解出不等式的解集求出m的范圍.
(1)f′(x)=3mx2﹣6(m+1)x+n.
因為x=1是f(x)的一個極值點,所以f'(1)=0,即3m﹣6(m+1)+n=0.
所以n=3m+6.
(2)由(1)知f′(x)=3mx2﹣6(m+1)x+3m+6=3m(x﹣1)[x﹣(1)]
當m<0時,有1>1,當x變化時f(x)與f'(x)的變化如下表:
x | (﹣∞,1) | 1 | (1,1) | 1 | (1,+∞) |
f′(x) | <0 | 0 | >0 | 0 | <0 |
f(x) | 單調(diào)遞減 | 極小值 | 單調(diào)遞增 | 極大值 | 單調(diào)遞減 |
由上表知,當m<0時,f(x)在(﹣∞,1)單調(diào)遞減,在(1,1)單調(diào)遞增,在(1,+∞)單調(diào)遞減.
(3)由已知,得f′(x)>3m,即3m(x﹣1)[x﹣(1)]>3m,
∵m<0.∴(x﹣1)[x﹣1(1)]<1.(*)
①x=1時.(*)式化為0<1恒成立.
∴m<0.
②x≠1時∵x∈[﹣1,1],∴﹣2≤x﹣1<0.
(*)式化為(x﹣1).
令t=x﹣1,則t∈[﹣2,0),記g(t)=t,
則g(t)在區(qū)間[﹣2,0)是單調(diào)增函數(shù).∴g(t)min=g(﹣2)=﹣2.
由(*)式恒成立,必有m,又m<0.∴m<0.
綜上①②知m<0.
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【題目】某大學為調(diào)研學生在, 兩家餐廳用餐的滿意度,從在, 兩家餐廳都用過餐的學生中隨機抽取了100人,每人分別對這兩家餐廳進行評分,滿分均為60分.
整理評分數(shù)據(jù),將分數(shù)以10為組距分成6組: , , , , , ,得到餐廳分數(shù)的頻率分布直方圖,和餐廳分數(shù)的頻數(shù)分布表:
定義學生對餐廳評價的“滿意度指數(shù)”如下:
分數(shù) | |||
滿意度指數(shù) |
(Ⅰ)在抽樣的100人中,求對餐廳評價“滿意度指數(shù)”為0的人數(shù);
(Ⅱ)從該校在, 兩家餐廳都用過餐的學生中隨機抽取1人進行調(diào)查,試估計其對餐廳評價的“滿意度指數(shù)”比對餐廳評價的“滿意度指數(shù)”高的概率;
(Ⅲ)如果從, 兩家餐廳中選擇一家用餐,你會選擇哪一家?說明理由.
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【題目】我國古代數(shù)學名著《九章算術》中記載了有關特殊幾何體的定義:陽馬指底面為矩形,一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐,塹堵指底面是直角三角形,且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱.
(1)某塹堵的三視圖,如圖1,網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長為1,求該塹堵的體積;
(2)在塹堵中,如圖2,,若,當陽馬的體積最大時,求二面角的大小.
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【題目】某班50名學生在一次百米測試中,成績?nèi)拷橛?/span>13秒與18秒之間,將測試結(jié)果按如下方式分成五組:第一組,第二組,,第五組.下圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.
(1)若成績大于或等于14秒且小于16秒認為良好,求該班在這次百米測試中成績良好的人數(shù);
(2)設m,n表示該班某兩位同學的百米測試成績,且已知求事件“”發(fā)生的概率.
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【題目】已知點在橢圓上,橢圓的右焦點,直線過橢圓的右頂點,與橢圓交于另一點,與軸交于點.
(1)求橢圓的方程;
(2)若為弦的中點,是否存在定點,使得恒成立?若存在,求出點的坐標,若不存在,請說明理由;
(3)若,交橢圓于點,求的范圍.
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【題目】已知雙曲線=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,點O為雙曲線的中心,點P在雙曲線右支上,△PF1F2內(nèi)切圓的圓心為Q,圓Q與x軸相切于點A,過F2作直線PQ的垂線,垂足為B,則下列結(jié)論成立的是( )
A. |OA|>|OB|B. |OA|<|OB|
C. |OA|=|OB|D. |OA|與|OB|大小關系不確定
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【題目】有下列幾個命題:①若,則;②“若,則互為相反數(shù)”的否命題“;③“若則”的逆命題;④“若,則互為倒數(shù)”的逆否命題. 其中真命題的序號__________.
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【題目】某地統(tǒng)計局調(diào)查了10000名居民的月收入,并根據(jù)所得數(shù)據(jù)繪制了樣本的頻率分布直方圖如圖所示。
(1)求居民月收入在[3000,3500)內(nèi)的頻率;
(2)根據(jù)頻率分布直方圖求出樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù);
(3)為了分析居民的月收入與年齡、職業(yè)等方面的關系,必須按月收入再從這10000中用分層抽樣的方法抽出100人做進一步分析,則應從月收入在[2500,3000)內(nèi)的居民中抽取多少人?
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