【題目】如圖,拋物線C1:x2=4y,C2:x2=﹣2py(p>0),點(diǎn)M(x0 , y0)在拋物線C2上,過M作C1的切線,切點(diǎn)為A,B(M為原點(diǎn)O時(shí),A,B重合于O),當(dāng)x0=1﹣ 時(shí),切線MA的斜率為﹣ .
(1)求P的值;
(2)當(dāng)M在C2上運(yùn)動(dòng)時(shí),求線段AB中點(diǎn)N的軌跡方程(A,B重合于O時(shí),中點(diǎn)為O).
【答案】
(1)解:因?yàn)閽佄锞C1:x2=4y上任意一點(diǎn)(x,y)的切線斜率為y′= ,且切線MA的斜率為﹣ ,
所以設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),得 ,解得x=﹣1,y= = ,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣1, ),
故切線MA的方程為y=﹣ (x+1)+
因?yàn)辄c(diǎn)M(1﹣ ,y0)在切線MA及拋物線C2上,于是
y0=﹣ (2﹣ )+ =﹣ ①
∴y0=﹣ =﹣ ②
解得p=2
(2)解:設(shè)N(x,y),A(x1, ),B(x2, ),x1≠x2,由N為線段AB中點(diǎn)知x= ③,y= = ④
切線MA,MB的方程為y= (x﹣x1)+ ,⑤;y= (x﹣x2)+ ⑥,
由⑤⑥得MA,MB的交點(diǎn)M(x0,y0)的坐標(biāo)滿足x0= ,y0=
因?yàn)辄c(diǎn)M(x0,y0)在C2上,即x02=﹣4y0,所以x1x2=﹣ ⑦
由③④⑦得x2= y,x≠0
當(dāng)x1=x2時(shí),A,B丙點(diǎn)重合于原點(diǎn)O,A,B中點(diǎn)N為O,坐標(biāo)滿足x2= y
因此中點(diǎn)N的軌跡方程為x2= y
【解析】(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義,先表示出切線方程,再由M在拋物線上及在直線上兩個(gè)前提下,得到相應(yīng)的方程,解出p值.(2)由題意,可先設(shè)出A,B兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)及中點(diǎn)的坐標(biāo),再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式建立方程,直接求解出中點(diǎn)N的軌跡方程
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=eax﹣x,其中a≠0.
(1)若對(duì)一切x∈R,f(x)≥1恒成立,求a的取值集合.
(2)在函數(shù)f(x)的圖象上取定兩點(diǎn)A(x1 , f(x1)),B(x2 , f(x2)(x1<x2),記直線AB的斜率為K,問:是否存在x0∈(x1 , x2),使f′(x0)>k成立?若存在,求x0的取值范圍;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖為某旅游區(qū)各景點(diǎn)的分布圖,圖中一條帶箭頭的線段表示一段有方向的路,試計(jì)算順著箭頭方向,從A到H不同的旅游路線的條數(shù),這個(gè)數(shù)是( )
A. 15 B. 16 C. 17 D. 18
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市出租車的計(jì)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)是:4km以內(nèi)(含4km)10元,超過4km且不超過18km的部分1.2元/km,超過18km的部分1.8元/km,不計(jì)等待時(shí)間的費(fèi)用.
(1)如果某人乘車行駛了10km,他要付多少車費(fèi)?
(2)試建立車費(fèi)y(元)與行車?yán)锍?/span>x(km)的函數(shù)關(guān)系式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面四邊形中, , ,將沿折起,使得平面平面,如圖.
(1)求證: ;
(2)若為中點(diǎn),求直線與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】求過兩點(diǎn)A(1,4)、B(3,2),且圓心在直線y=0上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.并判斷點(diǎn)M1(2,3),M2(2,4)與圓的位置關(guān)系.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某蔬菜基地種植西紅柿,由歷年市場行情得知,從二月一日起的300天內(nèi),西紅柿市場銷售價(jià)與上市時(shí)間的關(guān)系用圖(1)的一條折線表示;西紅柿的種植成本與上市時(shí)間的關(guān)系用圖(2)的拋物線段表示.
(1)寫出圖(1)表示的市場售價(jià)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式寫出圖(2)表示的種植成本與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式
(2)認(rèn)定市場售價(jià)減去種植成本為純收益,問何時(shí)上市的西紅柿收益最大?(注:市場售價(jià)和種植成本的單位:元/kg,時(shí)間單位:天.)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)全集U=R,集合A={x|1≤x<4},B={x|2a≤x<3-a}.
(1)若a=-2,求B∩A,B∩(UA);(2)若A∪B=A,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】從裝有2只紅球,2只白球和1只黑球的袋中逐一取球,已知每只球被抽取的可能性相同.
(Ⅰ)若抽取后又放回,抽3次.
(ⅰ)分別求恰2次為紅球的概率及抽全三種顏色球的概率;
(ⅱ)求抽到紅球次數(shù)的數(shù)學(xué)期望及方差.
(Ⅱ)若抽取后不放回,寫出抽完紅球所需次數(shù)的分布列.
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