已知橢圓的焦點為F1(0,-2
2
)
,F2(0,2
2
)
,離心率為e,已知
2
3
,e,
4
3
成等比數(shù)列;
(1)求橢圓的標準方程;
(2)已知P為橢圓上一點,求
PF1
PF2
最大值.
分析:(1)由
2
3
,e,
4
3
成等比數(shù)列可求得e,而c=2
2
,從而可求得a,繼而可得橢圓的標準方程;
(2)設點P的坐標為(x,y),可求得
PF1
PF2
=x2+y2-8,結(jié)合(1)中橢圓的標準方程即可求得,
PF1
PF2
的最大值.
解答:解:(1)∵
2
3
,e,
4
3
成等比數(shù)列,
∴e2=
2
3
×
4
3
=
8
9

∴e=
2
2
3
;…(2分)
∵一個焦點F1(0,-2
2
),
∴c=2
2
,則a=3,
∴b2=9-8=1,
∴橢圓的標準方程:x2+
y2
9
=1;                       …(6分)
(2)設點P的坐標為(x,y),則
PF1
=(-x,-2
2
-y),
PF2
=(-x,2
2
-y),
PF1
PF2
=(-x,-2
2
-y)•(-x,2
2
-y)
=x2+y2-8…(8分)
∵P為橢圓上一點,由(Ⅰ)知x2+
y2
9
=1;
∴x2=1-
y2
9
,
PF1
PF2
=x2+y2-8=
8y2
9
-7…(10分)
∴當y=3時,
PF1
PF2
取得最大值1.…(12分)
點評:本題考查橢圓的標準方程即其性質(zhì),考查向量的數(shù)量積與坐標運算,考查等比數(shù)列的性質(zhì),屬于中檔題.
練習冊系列答案
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32
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