已知橢圓的焦點(diǎn)為F1(-1,0)、F2(1,0),直線x=4是它的一條準(zhǔn)線.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)A1、A2分別是橢圓的左頂點(diǎn)和右頂點(diǎn),P是橢圓上滿足|PA1|-|PA2|=2的一點(diǎn),求tan∠A1PA2的值;
(3)若過(guò)點(diǎn)(1,0)的直線與以原點(diǎn)為頂點(diǎn)、A2為焦點(diǎn)的拋物線相交于點(diǎn)M、N,求MN中點(diǎn)Q的軌跡方程.
分析:(1)根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)得c,根據(jù)準(zhǔn)線方程x=4可得a
2,再根據(jù)b
2=a
2-c
2求得b
2,把a(bǔ)
2和b
2代入標(biāo)準(zhǔn)方程即可.
(2)由題設(shè)知,點(diǎn)P在以A
1、A
2為焦點(diǎn),實(shí)軸長(zhǎng)為2的雙曲線的右支上.根據(jù)(1)中的標(biāo)準(zhǔn)方程,可求得A
1和A
2的坐標(biāo),根據(jù)題意可知p點(diǎn)為橢圓和雙曲線的交點(diǎn),設(shè)雙曲線方程為
-
=1,根據(jù)焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程.分別可求得m和n,進(jìn)而可得雙曲線方程,根據(jù)橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,進(jìn)而可求得點(diǎn)p的坐標(biāo),進(jìn)而求得tan∠A
1PA
2的值.
(3)由題設(shè)知,拋物線方程為y
2=8x.設(shè)M(x
1,y
1)、N(x
2,y
2),代入拋物線方程,設(shè)點(diǎn)Q(x,y)進(jìn)而可得點(diǎn)Q的坐標(biāo),把y
12=8x
1和y
22=8x
2兩式相減,然后把點(diǎn)Q的坐標(biāo)(x,y)代入即可得到x與y的關(guān)系式,進(jìn)而得到點(diǎn)Q的軌跡方程
解答:解:(1)設(shè)橢圓方程為
+
=1(a>b>0).
由題設(shè)有c=1,
=4,
∴a
2=4
∴b
2=a
2-c
2=3.
所求橢圓方程為
+
=1.
(2)由題設(shè)知,點(diǎn)P在以A
1、A
2為焦點(diǎn),實(shí)軸長(zhǎng)為2的雙曲線的右支上.
由(1)知A
1(-2,0),A
2(2,0),
設(shè)雙曲線方程為
-
=1(m>0,n>0).
則2m=2,m
2+n
2=4,
解得m=1,n=
.
∴雙曲線方程為x
2-
=1.
由
+
=1,x
2-
=1,
解得P點(diǎn)的坐標(biāo)為(
,
)或(
,-
).
當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為(
,
)時(shí),tan∠A
1PA
2=
=-4
.
同理當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為(
,-
)時(shí),
tan∠A
1PA
2=-4
.
故tan∠A
1PA
2=-4
.
(3)由題設(shè)知,拋物線方程為y
2=8x.
設(shè)M(x
1,y
1)、N(x
2,y
2),MN的中點(diǎn)Q(x,y),
當(dāng)x
1≠x
2時(shí),有
y
12=8x
1,①
y
22=8x
2,②
x=
,③
y=
,④
=
.⑤
①-②,得
(y
1+y
2)=8,
將④⑤代入上式,有
•2y=8,
即y
2=4(x-1)(x≠1).
當(dāng)x
1=x
2時(shí),MN的中點(diǎn)為(1,0),仍滿足上式.
故所求點(diǎn)Q的軌跡方程為y
2=4(x-1).
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的問(wèn)題.橢圓的問(wèn)題常與雙曲線、拋物線和直線等問(wèn)題一同考查,屬高考的?碱}目.