Question

關(guān)于x的方程（x²-1）²-|x²-1|+k=0，給出下列四個命題：
①存在實數(shù)k，使得方程恰有3個不同的實根；
②存在實數(shù)k，使得方程恰有4個不同的實根；
③存在實數(shù)k，使得方程恰有5個不同的實根；
④存在實數(shù)k，使得方程恰有6個不同的實根；
其中假命題的個數(shù)是（　�。�

A．3

B．2

C．1

D．0

Answer 1

分析：將方程根的問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)圖象的問題，畫出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象可得結(jié)論．

解答：解：設(shè)t=|x²-1|，則原方程等價為t²-t+k=0．判別式△=1-4k．
作出函數(shù)t=|x²-1|的圖象如圖：
由圖象可知：當(dāng)t＞1時，方程t=|x²-1|有2個不同的根，
當(dāng)t=1時，方程t=|x²-1|有3個不同的根，
當(dāng)0＜t＜1時，方程t=|x²-1|有4個不同的根，
當(dāng)t=0時，方程t=|x²-1|有2個不同的根，
當(dāng)t＜0時，方程t=|x²-1|有0個不同的根．
①要使方程（x²-1）²-|x²-1|+k=0恰有3個不同的實根，則對應(yīng)方程t²-t+k=0的兩個根t₁=1，t₂＜0，當(dāng)t=1時，1-1+k=0，所以k=0，此時方程為t²-t=0，解得t=1或t=0，矛盾，所以①不正確．
②要使方程（x²-1）²-|x²-1|+k=0恰有4個不同的實根，則對應(yīng)方程t²-t+k=0的兩個根0＜t₁＜1，t₂1，t₂=0．
當(dāng)0＜t₁＜1，t₂＜0時，因為t₁+t₂＜1與t₁+t₂=1，矛盾，
當(dāng)t=0時，0-0+k=0，所以k=0，此時方程為t²-t=0，解得t=1或t=0，矛盾，所以②不正確．
③要要使方程（x²-1）²-|x²-1|+k=0恰有5個不同的實根，則對應(yīng)方程t²-t+k=0的兩個根t₁=1，t₂=0，
當(dāng)t=1時，1-1+k=0，所以k=0，此時方程為t²-t=0，解得t=1或t=0，成立，所以③正確
④要使方程（x²-1）²-|x²-1|+k=0恰有6個不同的實根，則對應(yīng)方程t²-t+k=0的兩個根0＜t₁＜1，t₂=0，
當(dāng)t=0時，0-0+k=0，所以k=0，此時方程為t²-t=0，解得t=1或t=0，矛盾，所以④不正確．
故選A．

點評：本題主要考查了方程解的個數(shù)判斷，利用換元法將方程轉(zhuǎn)化為我們熟悉的函數(shù)，是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強難度較大．