飛船返回倉順利到達(dá)地球后,為了及時(shí)將航天員救出,地面指揮中心在返回倉預(yù)計(jì)到達(dá)區(qū)域安排三個(gè)救援中心(記為A,B,C),B在A的正東方向,相距6km,C在B的北偏東30°,相距4km,P為航天員著陸點(diǎn),某一時(shí)刻A接到P的求救信號(hào),由于B、C兩地比A距P遠(yuǎn),因此4s后,B、C兩個(gè)救援中心才同時(shí)接收到這一信號(hào),已知該信號(hào)的傳播速度為1km/s.
(1)求A、C兩個(gè)救援中心的距離;
(2)求在A處發(fā)現(xiàn)P的方向角;
(3)若信號(hào)從P點(diǎn)的正上方Q點(diǎn)處發(fā)出,則A、B收到信號(hào)的時(shí)間差變大還是變小,并證明你的結(jié)論.
分析:(1)首先以AB中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系,求出A,B,C的坐標(biāo),然后求出AC的距離即可.
(2)根據(jù)|PC|=|PB|得出P在BC線段的垂直平分線上,建立雙曲線方程,并求出∠PAB.
(3)設(shè)|PQ|=h,|PB|=x,|PA|=y,建立不等式,并求解,得到A、B收到信號(hào)的時(shí)間差變小
解答:解:(1)以AB中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系,
則
A(-3,0),B(3,0),C(5,2)則
|AC|==2km即A、C兩個(gè)救援中心的距離為
2km(2)∵|PC|=|PB|,所以P在BC線段的垂直平分線上
又∵|PB|-|PA|=4,所以P在以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線的左支上,且|AB|=6
∴雙曲線方程為
-=1 (x<0)BC的垂直平分線的方程為
x+y-7=0聯(lián)立兩方程解得:x=-8∴
P(-8,5),kPA=tan∠PAB=-∴∠PAB=120°所以P點(diǎn)在A點(diǎn)的北偏西30°處
(3)如圖,設(shè)|PQ|=h,|PB|=x,|PA|=y
∵
|QB|-|QA|=-=
=(x-y)•又∵
<1∴|QB|-|QA|<|PB|-|PA|∴
-<-即A、B收到信號(hào)的時(shí)間差變小
點(diǎn)評(píng):本題考查雙曲線方程的應(yīng)用,涉及到解空間幾何體的方法,通過對(duì)雙曲線知識(shí)與立體幾何知識(shí)的糅合,考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的應(yīng)用能力,屬于中檔題.