Question

某村莊擬修建一個無蓋的圓柱形蓄水池（不計厚度）．設(shè)該蓄水池的底面半徑為米，高為米，體積為立方米．假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān)，側(cè)面積的建造成本為100元/平方米，底面的建造成本為160元/平方米，該蓄水池的總建造成本為元（為圓周率）.
（1）將表示成的函數(shù)，并求該函數(shù)的定義域；
（2）討論函數(shù)的單調(diào)性，并確定和為何值時該蓄水池的體積最大.

Answer 1

（1），函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/02/7/pb8xi1.png" style="vertical-align:middle;" />；（2）當(dāng)時，函數(shù)為增函數(shù)，當(dāng)，函數(shù)為減函數(shù)，所以當(dāng)時該蓄水池的體積最大.

解析試題分析：（1）先由圓柱的側(cè)面積及底面積計算公式計算出側(cè)面積及底面積，進(jìn)而得出總造價，依條件得等式，從中算出，進(jìn)而可計算，再由可得；（2）通過求導(dǎo)，求出函數(shù)在內(nèi)的極值點(diǎn)，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得出取得最大值時的值.
（1）∵蓄水池的側(cè)面積的建造成本為元，底面積成本為元
∴蓄水池的總建造成本為元
所以即
∴
∴
又由可得
故函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/02/7/pb8xi1.png" style="vertical-align:middle;" />           6分
（2）由（1）中，
可得（）
令，則
∴當(dāng)時，，函數(shù)為增函數(shù)
當(dāng)，函數(shù)為減函數(shù)
所以當(dāng)時該蓄水池的體積最大             12分.
考點(diǎn)：1.函數(shù)的應(yīng)用問題；2.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)；2.函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù).