如圖,在三棱錐P-ABC中,直線PA⊥平面ABC,且∠ABC=90°,又點(diǎn)Q,M,N分別是線段PB,AB,BC的中點(diǎn),且點(diǎn)K是線段MN上的動(dòng)點(diǎn).
(Ⅰ)證明:直線QK平面PAC;
(Ⅱ)若PA=AB=BC=8,且二面角Q-AK-M的平面角的余弦值為
3
9
,試求MK的長(zhǎng)度.
(Ⅰ)連結(jié)QM,∵點(diǎn)Q,M,N分別是線段PB,AB,BC的中點(diǎn)
∴QMPA且MNAC,從而QM平面PAC且MN平面PAC
又∵M(jìn)N∩QM=M,∴平面QMN平面PAC而QK?平面QMN
∴QK平面PAC…(7分)
(Ⅱ)方法1:過(guò)M作MH⊥AK于H,連QH,則∠QHM即為二面角Q-AK-M的平面
角,設(shè)MK=x,且PA=PB=PC=8則MH=
2
2
x
x2+4
2
x+16
,又QM=4,且cos∠QHM=
3
9
,
tan∠QHM=
QM
MH
=
2
x2+4
2
x+16
x
=
26
,
解得x=
2
,∴MK的長(zhǎng)度為
2
.…(15分)
方法2:以B為原點(diǎn),以BC、BA所在直線為x軸y軸建空間直角坐標(biāo)系,
則A(0,8,0),M(0,4,0),N(4,0,0),P(0,8,8),Q(0,4,4),
設(shè)K(a,b,0),則a+b=4,
AQ
=(0,-4,4),
AK
=(a,-4-a,0)
…(9分)
n
=(x,y,z)為平面AQK的一個(gè)法向量
,則
n
AQ
=0
n
Azk
=0
y=z
ax=(4+a)y
,
取y=z=a則x=4+a,
n
=(a+4,a,a)
,…(11分)
又平面AKM的一個(gè)法向量
m
=(0,0,1)
,設(shè)二面角Q-AK-M的平面角為θ
則|cosθ|=
|
m
n
|
|
m
||
n
|
=
a
(a+4)2+2a2
=
3
9
,解得a=1,
∴MK的長(zhǎng)度為
2
.…(15分)
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,圓錐頂點(diǎn)為P,底面圓心為O,其母線與底面所成的角為22.5°,AB和CD是底面圓O上的兩條平行的弦,軸OP與平面PCD所成的角為60°.

(1)證明:平面PAB與平面PCD的交線平行于底面;
(2)求cos∠COD.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,正方體AC1
(1)在BD上確定一點(diǎn)E,使D1E面A1C1B;
(2)求直線BB1和面A1C1B所成角的正弦值;
(3)求面A1C1B與底面ABCD所成二面角的平面角的正弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,平面α⊥平面β,A∈α,B∈β,AB與平面α、β所成的角分別為
π
4
π
6
,過(guò)A、B分別作兩平面交線的垂線,垂足為A′、B′,若AB=12,求A′B′的長(zhǎng)度.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

A、B是直二面角α-l-β的棱l上的兩點(diǎn),分別在α,β內(nèi)作垂直于棱l的線段AC,BD,已知AB=AC=BD=1,那么CD的長(zhǎng)為( 。
A.1B.2C.
2
D.
3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知△ABC中,AC=BC=2,∠ACB=120°,D為AB的中點(diǎn),E,F(xiàn)分別在線段AC,BC上,且EFAB,EF交CD于G,把△ADC沿CD折起,如圖所示,

(1)求證:E1F平面A1BD;
(2)當(dāng)二面角A1-CD-B為直二面角時(shí),是否存在點(diǎn)F,使得直線A1F與平面BCD所成的角為60°,若存在求CF的長(zhǎng),若不存在說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)O是BD中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:平面BDD1B1⊥平面C1OC;
(Ⅱ)求二面角C1-BD-C的正切值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知幾何體A-BCED的三視圖如圖所示,其中側(cè)視圖和俯視圖都是腰長(zhǎng)為4的等腰直角三角形,正視圖為直角梯形.求:
(1)異面直線DE與AB所成角的余弦值;
(2)二面角A-ED-B的正弦值;
(3)此幾何體的體積V的大小.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1=BC=2,且M是BC的中點(diǎn),點(diǎn)N在CC1上.
(1)試確定點(diǎn)N的位置,使AB1⊥MN;
(2)當(dāng)AB1⊥MN時(shí),求二面角M-AB1-N的大。

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