Question

已知g（x）=mx，G（x）=lnx．
（1）若f（x）=G（x）-x+1，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若G（x）+x+2≤g（x）恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）先求出函數(shù)f（x）的表達式，通過求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）將問題轉(zhuǎn)化為m-1≥

lnx+2

x

在（0，+∞）恒成立，令h（x）=

lnx+2

x

（x＞0），求出h（x）的最大值，從而求出m的范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=lnx-x+1，（x＞0），
∴f′（x）=

1

x

-1=

1-x

x

，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，
令f′（x）＜0，解得：x＞1，
∴f（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減；
（2）G（x）+x+2≤g（x）恒成立，
即lnx+x+2≤mx在（0，+∞）恒成立，
∴m-1≥

lnx+2

x

在（0，+∞）恒成立，
令h（x）=

lnx+2

x

（x＞0），
∴h′（x）=-

lnx+1

x2

，
令h′（x）＞0，解得：0＜x＜

1

e

，
令h′（x）＜0，解得：x＞e，
∴h（x）在（0，

1

e

）遞增，在（

1

e

，+∞）遞減，
∴h（x）_max=h（

1

e

）=e，
∴m-1≥e，
∴m≥e+1．

點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查了函數(shù)恒成立問題，考查了轉(zhuǎn)化思想，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．