Question

已知P是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）右支上一點(diǎn)，F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）分別是左、右焦點(diǎn)，則△PF₁F₂的內(nèi)切圓圓心的橫坐標(biāo)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,數(shù)形結(jié)合,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)題意，利用切線長(zhǎng)定理，再利用雙曲線的定義，把|PF₁|-|PF₂|=2a，轉(zhuǎn)化為|HF₁|-|HF₂|=2a，從而求得點(diǎn)H的橫坐標(biāo)．

解答： 解：如圖所示：F₁（-a，0）、F₂（a，0），
設(shè)內(nèi)切圓與x軸的切點(diǎn)是點(diǎn)H，
PF₁、PF₂與內(nèi)切圓的切點(diǎn)分別為M、N，
∵由雙曲線的定義可得|PF₁|-|PF₂|=2a，
由圓的切線長(zhǎng)定理知，|PM|=|PN|，故|MF₁|-|NF₂ |=2a，
即|HF₁|-|HF₂|=2a，
設(shè)內(nèi)切圓的圓心橫坐標(biāo)為x，則點(diǎn)H的橫坐標(biāo)為x，
故 （x+c）-（c-x）=2a，∴x=a．
故答案為：a．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的定義、切線長(zhǎng)定理，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，正確運(yùn)用雙曲線的定義是關(guān)鍵