Question

設函數f（x）=

a

3

x3-

3

2

x2+（a+1）x+1，其中a為實數．
（1）已知函數f（x）在x=1處取得極值，求a的值；
（2）已知不等式f′（x）＞x²-x-a+1對任意a∈（0，+∞）都成立，求實數x的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數求閉區(qū)間上函數的最值,利用導數研究函數的極值

專題：計算題,函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：（1）求導f′（x）=ax²-3x+a+1，從而由f′（1）=a-3+a+1=0求a并驗證；
（2）不等式f′（x）＞x²-x-a+1可化為ax²-3x+a+1＞x²-x-a+1；故a＞

x2+2x

x2+2

對任意a∈（0，+∞）都成立；從而化為

x2+2x

x2+2

≤0；從而解得．

解答： 解：（1）∵f（x）=

a

3

x3-

3

2

x2+（a+1）x+1，
∴f′（x）=ax²-3x+a+1；
則由函數f（x）在x=1處取得極值知，
f′（1）=a-3+a+1=0；
解得a=1；
經驗證，當a=1時，函數f（x）在x=1處取得極大值；
故a=1；
（2）不等式f′（x）＞x²-x-a+1可化為
ax²-3x+a+1＞x²-x-a+1；
故a＞

x2+2x

x2+2

對任意a∈（0，+∞）都成立；
故

x2+2x

x2+2

≤0；
故-2≤x≤0；
故實數x的取值范圍為[-2，0]．

點評：本題考查了導數的綜合應用及恒成立問題，屬于中檔題．