Question

已知a＞0，b∈R，函數(shù)f（x）=4ax³-2bx-a+b．當0≤x≤1時，證明：
（1）函數(shù)f（x）的最大值力|2a-b|+a；
（2）f（x）+|2a-b|+a≥0．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求導函數(shù)，再分類討論：當b≤0時，f′（x）＞0在0≤x≤1上恒成立，此時最大值為：f（1）=|2a-b|﹢a；當b＞0時，在0≤x≤1上的正負性不能判斷，此時最大值為：f（x）_max=max{f（0），f（1）}=|2a-b|﹢a，由此可得結論；
（2）利用分析法，要證f（x）+|2a-b|+a≥0，即證g（x）=-f（x）≤|2a-b|﹢a．亦即證g（x）在0≤x≤1上的最大值小于（或等于）|2a-b|﹢a．

解答： 證明：（1）：f′（x）=12ax²-2b，
當b≤0時，f′（x）＞0，在0≤x≤1上恒成立，此時最大值為：f（1）=|2a-b|﹢a；
當b＞0時，在0≤x≤1上的正負性不能判斷，此時最大值為：f（x）_max=max{f（0），f（1）}=

b-a，b≥2a 3a-b，b＜2a

=|2a-b|﹢a；
綜上所述：函數(shù)在0≤x≤1上的最大值為|2a-b|﹢a；
（2）要證f（x）+|2a-b|+a≥0，即證g（x）=-f（x）≤|2a-b|﹢a．
亦即證g（x）在0≤x≤1上的最大值小于（或等于）|2a-b|﹢a，
∵g（x）=-4ax³+2bx+a-b，
∴令g′（x）=-12ax²+2b=0，解得x=

b 6a

；
當b≤0時，g′（x）＜0在0≤x≤1上恒成立，
此時g（x）的最大值為：g（0）=a-b＜3a-b=|2a-b|﹢a；
當b＞0時，g′（x）在0≤x≤1上的正負性不能判斷，
∴g（x）_max=max{g（

b 6a

），g（1）}=max{

3b

4

b 6a

+a-b，b-2a}=

3b 4 b 6a +a-b，b≤6a b-2a，b＞6a

，
∴g（x）_max≤|2a-b|﹢a；
綜上所述：函數(shù)g（x）在0≤x≤1上的最大值小于（或等于）|2a-b|﹢a．
即f（x）+|2a-b|+a≥0在0≤x≤1上恒成立．

點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調性，考查函數(shù)的最值，考查不等式的證明，綜合性，難度大．