Question

【題目】已知f（x）=lnx，g（x）= x2+mx+ （m＜0），直線l與函數(shù)f（x）的圖象相切，切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，且直線l與函數(shù)g（x）的圖象也相切．
（1）求直線l的方程及實(shí)數(shù)m的值；
（2）若h（x）=f（x）﹣x+3，求函數(shù)h（x）的最大值；
（3）當(dāng)0＜b＜a時，求證：f（a+b）﹣f（2a）＜ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f'（x）= ，∴f'（1）=1．∴直線l的斜率為k=1，且與函數(shù)f（x）的圖象的切點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）．

∴直線l的方程為y=x﹣1．

又∵直線l與函數(shù)y=g（x）的圖象相切，

∴方程組 有一解．由上述方程消去y，并整理得

x2+2（m﹣1）x+9=0 ①

方程①有兩個相等的實(shí)數(shù)根，∴△=[2（m﹣1）]2﹣4×9=0

解得m=4或m=﹣2；∵m＜0∴m=﹣2

（2）解：由（1）可知g（x）= ﹣2x+ ，∴g'（x）=x﹣2

h（x）=f（x）﹣x+13=lnx﹣x+3（x＞0）．h'（x）= ﹣1= ．

∴當(dāng)x∈（0，1）時，h'（x）＞0，當(dāng)x∈（1，+∞）時，h'（x）＜0．

∴當(dāng)x=1時，h（x）取最大值，其最大值為2

（3）解：證明： f（a+b）﹣f（2a）=ln（a+b）﹣ln2a=ln ．

∵0＜b＜a，0＜

由（2）知當(dāng)x∈（0，1）時，h（x）＜h（1）∴即x∈（0，1）時，lnx﹣x+3＜2，lnx＜x﹣1

ln ＜ ．

∴f（a+b）﹣f（2a）＜

【解析】（1）首先求出直線l方程為y=x﹣1，直線l與函數(shù)y=g（x）的圖象相切，所以有x2+2（m﹣1）x+9=0方程有兩個相等實(shí)根．（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，直接求出函數(shù)的最大值即可；（3）由（2）知當(dāng)x∈（0，1）時，h（x）＜h（1），即x∈（0，1）時，lnx﹣x+3＜2，lnx＜x﹣1來證明．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．