【題目】已知函數(shù)f(x)=(ax2+x﹣1)ex , 其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),a∈R.
(Ⅰ)若a=1.求曲線f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;
(Ⅱ)若a=﹣1,函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)g(x)=x3+x2+m的圖象有3個(gè)不同的交點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

【答案】解:(Ⅰ)∵f(x)=(x2+x﹣1)ex ,
∴f′(x)=(2x+1)ex+(x2+x﹣1)ex=(x2+3x)ex
∴曲線f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線斜率k=f′(1)=4e,
∵f(1)=e,
∴曲線f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y﹣e=4e(x﹣1),
即4ex﹣y﹣3e=0.
(Ⅱ)令h(x)=f(x)﹣g(x)=(﹣x2+x﹣1)ex﹣(x3+x2+m)
則h′(x)=(﹣2x+1)ex+(﹣x2+x﹣1)ex﹣(x2+x)
=﹣(ex+1)(x2+x)
令h′(x)>0得﹣1<x<0,令h′(x)<0得x>0或x<﹣1.
∴h(x)在x=﹣1處取得極小值h(﹣1)=﹣﹣m,在x=0處取得極大值h(0)=﹣1﹣m,
∵函數(shù)f(x),g(x)的圖象有三個(gè)交點(diǎn),即函數(shù)h(x)有3個(gè)不同的零點(diǎn),

解得:﹣<m<﹣1.
【解析】(Ⅰ)求出導(dǎo)數(shù),求出切線的斜率,切點(diǎn),運(yùn)用點(diǎn)斜式方程,即可得到;
(Ⅱ)令h(x)=f(x)﹣g(x),求出導(dǎo)數(shù),求出單調(diào)區(qū)間,和極值,函數(shù)f(x),g(x)的圖象有三個(gè)交點(diǎn),即函數(shù)h(x)有3個(gè)不同的零點(diǎn),即有h(﹣1)<0,且h(0)>0,解出即可.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某地區(qū)2007年至2013年農(nóng)村居民家庭純收入(單位:千元)的數(shù)據(jù)如下表:

年份

2007

2008

2009

2010

2011

2012

2013

年份代號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

人均純收入

2.9

3.3

3.6

4.4

4.8

5.2

5.9

(1)求y關(guān)于的線性回歸方程;

(2)判斷y與之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)?

(3)預(yù)測(cè)該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入.

附:回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為:

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=2|cosx|sinx+sin2x,給出下列四個(gè)命題:
①函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線 對(duì)稱;
②函數(shù)f(x)在區(qū)間 上單調(diào)遞增;
③函數(shù)f(x)的最小正周期為π;
④函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇﹣2,2].
其中真命題的序號(hào)是 . (將你認(rèn)為真命題的序號(hào)都填上)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓C,直線l

當(dāng)時(shí),若圓C與直線l交于A,B兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A,B分別作l的垂線與y軸交于D,E兩點(diǎn),求的值;

過(guò)直線l上的任意一點(diǎn)P作圓的切線為切點(diǎn),若平面上總存在定點(diǎn)N,使得,求圓心C的橫坐標(biāo)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】在某學(xué)校進(jìn)行的一次語(yǔ)文與歷史成績(jī)中,隨機(jī)抽取了25位考生的成績(jī)進(jìn)行分析,25位考生的語(yǔ)文成績(jī)已經(jīng)統(tǒng)計(jì)在莖葉圖中,歷史成績(jī)?nèi)缦拢?/span>
(Ⅰ)請(qǐng)根據(jù)數(shù)據(jù)在莖葉圖中完成歷史成績(jī)統(tǒng)計(jì);
(Ⅱ)請(qǐng)根據(jù)數(shù)據(jù)完成語(yǔ)文成績(jī)的頻數(shù)分布表及語(yǔ)文成績(jī)的頻率分布直方圖;

語(yǔ)文成績(jī)的頻數(shù)分布表:

語(yǔ)文成績(jī)分組

[50,60)

[60,70)

[70,80)

[90,100)

[100,110)

[110,120]

頻數(shù)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=|x﹣10|+|x﹣20|,且滿足f(x)<10a+10(a∈R)的解集不是空集.
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)a的取值集合A
(Ⅱ)若b∈A,a≠b,求證aabb>abba

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知橢圓上一點(diǎn)與橢圓右焦點(diǎn)的連線垂直于x軸,直線l:y=kx+m與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn)(均不在坐標(biāo)軸上).

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),若△AOB的面積為,試判斷直線OA與OB的斜率之積是否為定值?若是請(qǐng)求出,若不是請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】若函數(shù)f(x)=2x2+(x﹣2a)|x﹣a|在區(qū)間[﹣3,1]上不是單調(diào)函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.[﹣4,1]
B.[﹣3,1]
C.(﹣6,2)
D.(﹣6,1)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知橢圓C: (a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)F1 , F2和上下兩個(gè)頂點(diǎn)B1 , B2是一個(gè)邊長(zhǎng)為2且∠F1B1F2為60°的菱形的四個(gè)頂點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程;
(2)過(guò)右焦點(diǎn)F2 , 斜率為k(k≠0)的直線與橢圓C相交于E,F(xiàn)兩點(diǎn),A為橢圓的右頂點(diǎn),直線AE,AF分別交直線x=3于點(diǎn)M,N,線段MN的中點(diǎn)為P,記直線PF2的斜率為k′.求證:kk′為定值.

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