已知f (x)、g(x)都是定義在R上的函數(shù),如果存在實數(shù)m、n使得h (x)=m f(x)+ng(x),那么稱h (x)為f (x)、g(x)在R上生成的一個函數(shù).設(shè)f (x)=x2+ax,g(x)=x+b(a,b∈R),l(x)=2x2+3x-1,h (x)為f (x)、g(x)在R上生成的一個二次函數(shù).
(Ⅰ)設(shè)a=1,b=2,若h (x)為偶函數(shù),求h(
2
)

(Ⅱ)設(shè)b>0,若h (x)同時也是g(x)、l(x)在R上生成的一個函數(shù),求a+b的最小值;
(Ⅲ)試判斷h(x)能否為任意的一個二次函數(shù),并證明你的結(jié)論.
分析:(I)用待定系數(shù)法構(gòu)造出二次函數(shù),根據(jù)其性質(zhì)研究參數(shù)的值或關(guān)系,進(jìn)而求出h(
2
)
;
(II)根據(jù)題意用兩種方式構(gòu)造出h(x),因為是同一個函數(shù),所以兩者的同次項的系數(shù)相等,故可以建立相應(yīng)參數(shù)的方程組,從此方程組中構(gòu)造出關(guān)于a,b的函數(shù)關(guān)系來,再用求最值的方法求值.
(III)做此題時要注意格式,先給出答案,再進(jìn)行證明,此類題條件少,屬開放型題,直接證明外延太廣,無法證明,所以一般采取反證法.假設(shè)命題的對立面成立,然后推出矛盾來,說明假設(shè)不成立,其對立面即原來的命題是成立的.
解答:(Ⅰ)解:設(shè)h(x)=mf(x)+ng(x),則h(x)=m(x2+x)+n(x+2)=mx2+(m+n)x+2n(m≠0),
因為h(x)為一個二次函數(shù),且為偶函數(shù),
所以二次函數(shù)h(x)的對稱軸為y軸,即x=-
m+n
2m
=0

所以n=-m,則h(x)=mx2-2m,
h(
2
)=0
;(3分)
(Ⅱ)解:由題意,設(shè)h(x)=mf(x)+ng(x)=mx2+(am+n)x+bn(m,n∈R,且m≠0)
由h(x)同時也是g(x)、l(x)在R上生成的一個函數(shù),
知存在m0,n0使得h(x)=m0g(x)+n0l(x)=2n0x2+(m0+3n0)x+(bm0-n0),
所以函數(shù)h(x)=mx2+(am+n)x+bn=2n0x2+(m0+3n0)x+(bm0-n0),
m=2n0
am+n=m0+3n0
bn=bm0-n0
,(5分)
消去m0,n0,得am=(
1
2b
+
3
2
)m
,
因為m≠0,所以a=
1
2b
+
3
2
,(7分)
因為b>0,
所以a+b=
1
2b
+
3
2
+b≥
3
2
+2
b•
1
2b
=
3
2
+
2
(當(dāng)且僅當(dāng)b=
2
2
時取等號),
故a+b的最小值為
3
2
+
2
.(9分)
(Ⅲ)結(jié)論:函數(shù)h(x)不能為任意的一個二次函數(shù).
以下給出證明過程.
證明:假設(shè)函數(shù)h(x)能為任意的一個二次函數(shù),
那么存在m1,n1使得h(x)為二次函數(shù)y=x2,記為h1(x)=x2,
即h1(x)=m1f(x)+n1g(x)=x2;①
同理,存在m2,n2使得h(x)為二次函數(shù)y=x2+1,記為h2(x)=x2+1,
即h2(x)=m2f(x)+n2g(x)=x2+1.②
由②-①,得函數(shù)h2(x)-h1(x)=(m2-m1)f(x)+(n2-n1)g(x)=1,
令m3=m2-m1,n3=n2-n1,化簡得m3(x2+ax)+n3(x+b)=1對x∈R恒成立,
即m3x2+(m3a+n3)x+n3b=1對x∈R恒成立,
所以
m3=0
m3a+n3=0
n3b=1
,即
m3=0
n3=0
n3b=1
,
顯然,n3b=0×b=0與n3b=1矛盾,
所以,假設(shè)是錯誤的,
故函數(shù)h(x)不能為任意的一個二次函數(shù).(14分)
注:第(Ⅲ)問還可以舉其他反例.如h1(x)=2x2,h2(x)=2x2+1,
點評:考查對于抽象型的函數(shù)進(jìn)行邏輯推理與分析的能力,本題難度較大,且解題方法較單一,屬能力型的題目,對答題者數(shù)學(xué)的綜合素養(yǎng)要求較高.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知f(x),g(x)是定義在R上的函數(shù),f(x)=axg(x)(a>0且a≠1),2
f(1)
g(1)
-
f(-1)
g(-1)
=-1
,在有窮數(shù)列{
f(n)
g(n)
}
(n=1,2…,10)中,任意取正整數(shù)k(1≤k≤10),則前k項和大于
15
16
的概率是( 。
A、
4
5
B、
3
5
C、
2
5
D、
1
5

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知f(x),g(x)都是定義在R上的函數(shù),且
f(x)
g(x)
=ax
(a>0,且a≠1),f'(x)g(x)<f(x)g'(x),
f(1)
g(1)
+
f(-1)
g(-1)
=
5
2
,則a的值為( 。
A、2
B、
1
2
C、
3
5
D、
5
3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知f(x),g(x)對應(yīng)值如表.
x 0 1 -1
f(x) 1 0 -1
x 0 1 -1
g(x) -1 0 1
則f[g(1)]的值為( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知f(x)、g(x)都是定義在R上的函數(shù),g(x)≠0,
f(x)
g(x)
=
a
x
 
,且f′(x)g(x)>f(x)g′(x),(a>0,且a≠1),
f(1)
g(1)
+
f(-1)
g(-1)
=
5
2
.若數(shù)列{
f(n)
g(n)
}
的前n項和大于62,則n的最小值為( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

給出下列四個命題:
①已知f(x)+2f(
1
x
)=3x
,則函數(shù)g(x)=f(2x)在(0,1)上有唯一零點;
②對于函數(shù)f(x)=x
1
2
的定義域中任意的x1、x2(x1≠x2)必有f(
x1+x2
2
)<
f(x1)+f(x2)
2

③已知f(x)=|2-x+1-1|,a<b,f(a)<f(b),則必有0<f(b)<1;
④已知f(x)、g(x)是定義在R上的兩個函數(shù),對任意x、y∈R滿足關(guān)系式f(x+y)+f(x-y)=2f(x)•g(y),且f(0)=0,但x≠0時f(x)•g(x)≠0.則函數(shù)f(x)、g(x)都是奇函數(shù).
其中正確命題的序號是
①③
①③

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