Question

已知拋物線C：y=ax²，直線y=x+

1

4

經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）設(shè)P（x₀，y₀）（x₀≠0）是拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P且與P處的切線垂直的直線l與拋物線C的另一個(gè)交點(diǎn)為Q，P點(diǎn)關(guān)于焦點(diǎn)F的對(duì)稱點(diǎn)為R，求△PQR面積的最小值和此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題,拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程,圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（Ⅰ）求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，即可求拋物線C的方程；
（Ⅱ）設(shè)P（x₀，y₀）（x₀≠0）是拋物線上一點(diǎn)，推出直線PQ的方程，與拋物線聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式，點(diǎn)到直線的距離，表示出三角形的面積，通過(guò)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求解△PQR面積的最小值和此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答： 解：（Ⅰ）焦點(diǎn)F(0，

1

4a

)，∴

1

4a

=

1

4

即a=1∴拋物線C：x²=y-------------------------（3分）
（Ⅱ）設(shè)P(x0，x02)，Q(x1，x12)，F(0，

1

4

)，∴R(-x0，

1

2

-x02)---------------------------（4分）
lPQ：y-x02=-

1

2x0

(x-x0)即y=-

1

2x 0

x+

1

2

+x02
聯(lián)立

y=- 1 2x0 x+ 1 2 +x02 x2=y

，得x2+

1

2x0

x-(

1

2

+x02)=0
得

x 0+x1=- 1 2x0 x0+x1=-( 1 2 +x02)

--------------------------------------------------------------（7分）
∴|PQ|=

1+ 1 4x02

|x0-x1|=

(1+ 1 4x02 )( 1 4x02 +4x02+2)

----------------------（9分）
點(diǎn)R(-x0，

1

2

-x02)到PQ的距離d=

|2x02+ 1 2 |

1+ 1 4x02

------------------------------------（11分）
∴S△PQR=

1

2

|PQ|•d=

1

2

|2x02+

1

2

|

1 4x02 +4x02+2

=

1

8

(4x02+1)2

|x0|

記f(x)=

(4x2+1)2

x

(x＞0)
則f(x)=16x3+8x+

1

x

，f/(x)=48x2+8-

1

x2

=

(4x2+1)(12x2-1)

x2

當(dāng)x2=

1

12

時(shí)f（x）取得最小值．
故△PQR的面積的最小值為

4 3

9

，此時(shí)P(±

3

6

，

1

12

)--------------------------------（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查拋物線幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，同時(shí)考查解析幾何的基本思想方法和運(yùn)算能力．