Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-e^x（a∈R）
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，令h（x）=f′（x），求h（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂（x₁＜x₂）．
（ⅰ）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（ⅱ）證明：-

e

2

＜f（x₁）＜-1（注：e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，直接求出h（x）=f′（x），利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，求h（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）（�。┤鬴（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂（x₁＜x₂）．說(shuō)明導(dǎo)函數(shù)為0，有兩個(gè)解，利用函數(shù)的單調(diào)性，推出2a＞φ（1）=e，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（ⅱ）由f'（x₁）=0，推出a=

ex1

2x1

，x₁∈（0，1），f(x1)=ax12-ex1=

ex1

2x1

•x12-ex1=ex1(

x1

2

-1)，構(gòu)造函數(shù)φ(t)=et(

t

2

-1)(0＜t＜1)，求出新函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，φ（t）在0＜t＜1上單調(diào)遞減，得到φ（1）＜φ（t）＜φ（0），即可證明：-

e

2

＜f（x₁）＜-1．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，h'（x）=2-e^x，令h'（x）=0⇒x=ln2，---------（2分）
當(dāng)x＞ln2，h'（x）＜0；x＜ln2，h'（x）＞0；
∴h'（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，ln2），單調(diào)減區(qū)間為（ln2，+∞）-------（5分）
（Ⅱ）（�。┤鬴（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，則x₁，x₂是方程f'（x）=0的兩個(gè)根，
故方程2ax-e^x=0有兩個(gè)根x₁，x₂，
又x=0顯然不是該方程的根，∴方程2a=

ex

x

有兩個(gè)根，------（6分）
設(shè)φ(x)=

ex

x

，得φ′=

ex(x-1)

x2

，
當(dāng)x＜0時(shí)，φ（x）＜0且φ'（x）＜0，φ（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x＞0時(shí)，φ（x）＞0，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，φ'（x）＜0，φ（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x＞1時(shí)，φ'（x）＞0，φ（x）單調(diào)遞增，---------（9分）
要使方程2a=

ex

x

有兩個(gè)根，需2a＞φ（1）=e，
故a＞

e

2

且0＜x₁＜1＜x₂，
故a的取值范圍為(

e

2

，+∞)-------（10分）
（ⅱ）由f'（x₁）=0，得2ax1-ex1=0，故a=

ex1

2x1

，x₁∈（0，1）f(x1)=ax12-ex1=

ex1

2x1

•x12-ex1=ex1(

x1

2

-1)，x₁∈（0，1）-----（12分）
設(shè)φ(t)=et(

t

2

-1)(0＜t＜1)，則φ′(t)=et

t-1

2

＜0，φ（t）在0＜t＜1上單調(diào)遞減，
故φ（1）＜φ（t）＜φ（0），即-

e

2

＜f(x1)＜-1-------（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值，構(gòu)造法二次求導(dǎo)的應(yīng)用，綜合性強(qiáng)．