Question

已知如圖為函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜

π

2

）的部分圖象．
（1）求f（x）的解析式及其單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）求函數(shù)g（x）=

f(x)+2

f(x+ π 4 )+2

的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由函數(shù)圖象過點(diǎn)（0，1）可得φ=

π

6

，又ω

2π

3

+φ=

3π

2

，可得ω=2，可得函數(shù)解析式，整體法可得單調(diào)區(qū)間；
（2）由（1）知g（x）=y=

sin(2x+ π 6 )+1

cos(2x+ π 6 )+1

，變形可得sin（2x+

π

6

+φ）=

y-1

1+y2

，由三角函數(shù)的有界性可得y的不等式，解不等式可得．

解答： 解：（1）∵函數(shù)圖象過點(diǎn)（0，1），
∴2sinφ=1，即sinφ=

1

2

，
又∵0＜φ＜

π

2

，∴φ=

π

6

又ω

2π

3

+φ=

3π

2

，∴ω=2，
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

），
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

可得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z；
（2）由（1）知g（x）=

f(x)+2

f(x+ π 4 )+2

=

sin(2x+ π 6 )+1

sin(2x+ π 6 + π 2 )+1

=

sin(2x+ π 6 )+1

cos(2x+ π 6 )+1

，
令y=

sin(2x+ π 6 )+1

cos(2x+ π 6 )+1

，
可得sin（2x+

π

6

）+1=ycos（2x+

π

6

）+y，
∴得sin（2x+

π

6

）-ycos（2x+

π

6

）=

1+y2

sin（2x+

π

6

+φ）=y-1，
∴sin（2x+

π

6

+φ）=

y-1

1+y2

，∴|

y-1

1+y2

|≤1，
解得y≥0，即函數(shù)的值域?yàn)閇0，+∞）

點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)解析式的確定，涉及三角函數(shù)的單調(diào)性和有界性，屬中檔題．