Question

已知傾斜角為45°的直線l過點A（1，-2）和點B，B在第一象限，|AB|=3

2

．
（1）求點B的坐標；
（2）若直線l與雙曲線C：

x2

a2

-y2=1（a＞0）相交于E、F兩點，且線段EF的中點坐標為（4，1），求a的值；
（3）對于平面上任一點P，當點Q在線段AB上運動時，稱|PQ|的最小值為P與線段AB的距離．已知點P在x軸上運動，寫出點P（t，0）到線段AB的距離h關于t的函數(shù)關系式．

Answer 1

分析：（1）先設直線AB方程為y=x-3，設點B（x，y），由

y=x-3 (x-1)2+(y+2)2=18

及B在第一象限求解．
（2）先聯(lián)立直線方程與雙曲線方程，消元轉化為：(

1

a2

-1)x2+6x-10=0，再由韋達定理求解．
（3）先設線段AB上任意一點Q坐標為Q（x，x-3），根據兩點間的距離公式建立二次函數(shù)模型，|PQ|=

(t-x)2+(x-3)2

，
記f(x)=

(t-x)2+(x-3)2

=

2(x- t+3 2 )2+ (t-3)2 2

（1≤t≤4），再根據對稱軸和區(qū)間的相對位置，分類討論求解．

解答：解：（1）直線AB方程為y=x-3，設點B（x，y），
由

y=x-3 (x-1)2+(y+2)2=18

及x＞0，y＞0得x=4，y=1，點B的坐標為（4，1）．
（2）由

y=x-3 x2 a2 -y2=1

得(

1

a2

-1)x2+6x-10=0，
設E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），則x1+x2=-

6a2

1-a2

=4，得a=2．

（3）設線段AB上任意一點Q坐標為Q（x，x-3），|PQ|=

(t-x)2+(x-3)2

，
記f(x)=

(t-x)2+(x-3)2

=

2(x- t+3 2 )2+ (t-3)2 2

（1≤t≤4），
當1≤

t+3

2

≤4時，即-1≤t≤5時，|PQ|min=f(

t+3

2

)=

|t-3|

2

，
當

t+3

2

＞4，即t＞5時，f（x）在[1，4]上單調遞減，|PQ|min=f(4)=

(t-4)2+1

；
當

t+3

2

＜1，即t＜-1時，f（x）在[1，4]上單調遞增，|PQ|min=f(1)=

(t-1)2+4

．
綜上所述，h(t)=

(t-1)2+4 ，t＜-1 |t-3| 2 ，-1≤t≤5 (t-4)2+1 ，t＞5

點評：本題主要考查直線與圓的位置關系，中點坐標公式及兩點間的距離公式，同時考查了建立函數(shù)模型求最值的能力．