定義F(x,y)=(1+x)y,x,y∈(0,+∞)
(1)令函數(shù)f(x)=F(1,log2(x2-4x+9))的圖象為曲線c1,曲線c1與y軸交于點(diǎn)A(0,m),過坐標(biāo)原點(diǎn)O作曲線c1的切線,切點(diǎn)為B(n,t)(n>0)設(shè)曲線c1在點(diǎn)A、B之間的曲線段與OA、OB所圍成圖形的面積為S,求S的值;
(2)當(dāng)x,y∈N*且x<y時,證明F(x,y)>F(y,x).
分析:(1)求出f(x)的解析式,求出A的坐標(biāo),利用曲線在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值是曲線的切線斜率,切點(diǎn)在曲線上,列出方程組求出B的坐標(biāo),將曲邊圖象的面積用定積分表示,利用微積分基本定理求出面積.
(2)構(gòu)造函數(shù)h(x),求出其導(dǎo)函數(shù)判斷導(dǎo)函數(shù)的符號,判斷出h(x)的單調(diào)性,利用其單調(diào)性得到不等式,利用不等式的性質(zhì)得證.
解答:解:(1)∵F(x,y)=(1+x)
y∴f(x)=F(1,log
2(x
2-4x+9))=2
log2(x
2-4x+9)=x
2-4x+9
故A(0,9)
f'(x)=2x-4,過O作C
1的切線,切點(diǎn)為B(n,t)(n>0),
∴
解得B(3,6)
∴
S=(x2-4x+9-2x)dx=(x3-3x2+9x)=9(2)令
h(x)=(x≥1)h′(x)=令
P(x)=-ln(1+x)(x>0)∴
P′(x)=-=<0∴P(x)在[0,+∞)單調(diào)遞減.
∴當(dāng)x>0時,有P(x)<P(0),
∴當(dāng)x≥1時有h'(x)<0∴h(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞減.
∴1≤x<y時,有
>yln(1+x)>xln(1+y)
∴(1+x)
y>(1+y)
x∴當(dāng)x,y∈N
*且x<y時,F(xiàn)(x,y)>F(y,x)
點(diǎn)評:本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義|導(dǎo)數(shù)在曲線切點(diǎn)處的值是曲線的切線斜率、利用定積分求曲邊梯形的面積、
利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、不等式的性質(zhì).