(2007•汕頭二模)定義F(x,y)=(1+x)y,x,y∈(0,+∞),
(Ⅰ)令函數(shù)f(x)=F(1,log2(x2-4x+9))的圖象為曲線C1,曲線C1與y軸交于點(diǎn)A(0,m),過坐標(biāo)原點(diǎn)O向曲線C1作切線,切點(diǎn)為B(n,t)(n>0),設(shè)曲線C1在點(diǎn)A、B之間的曲線段與線段OA、OB所圍成圖形的面積為S,求S的值;
(Ⅱ)令函數(shù)g(x)=F(1,log2(x3+ax2+bx+1))的圖象為曲線C2,若存在實(shí)數(shù)b使得曲線C2在x0(-4<x0<-1)處有斜率為-8的切線,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(Ⅲ)當(dāng)x,y∈N*且x<y時(shí),證明F(x,y)>F(y,x).
分析:(I)把函數(shù)f(x)=F(1,log2(x2-4x+9))代入已知的新定義,根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則化簡,得到f(x)的解析式,把x=0代入f(x)的解析式即可求出m的值,求出f(x)的導(dǎo)函數(shù),把x=n代入導(dǎo)函數(shù)求出的導(dǎo)函數(shù)值即為切線的斜率,然后用切點(diǎn)坐標(biāo)表示出斜率,兩者相等列出n與t的關(guān)系式,把切點(diǎn)坐標(biāo)代入f(x)得到另一個(gè)關(guān)于n與t的關(guān)系式,兩者聯(lián)立即可求出n與t的值,確定出點(diǎn)B的坐標(biāo),然后利用定積分的方法即可求出曲線C1在點(diǎn)A、B之間的曲線段與線段OA、OB所圍成圖形的面積為S;
(II)利用題中的定義確定出g(x)的解析式,求出g(x)的導(dǎo)函數(shù),把x=x0代入導(dǎo)函數(shù)求出的導(dǎo)函數(shù)值即為-8,列出一個(gè)關(guān)系式,記作(1),把-4<x0<-1記作(2),由log2(x3+ax2+bx+1)大于0,把x=x0代入得到一個(gè)不等式,記作(3),由(1)解出b,代入(3)得到一個(gè)不等式與(2)聯(lián)立,把(2)中的兩個(gè)端點(diǎn)代入不等式中即可得到a的取值范圍.
(III)令函數(shù)h(x)=
ln(1+x)
x
,求出h(x)的導(dǎo)函數(shù),由分母大于0,令分子等于p(x),求出p(x)的導(dǎo)函數(shù),根據(jù)p(x)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù),判斷p(x)的增減性,進(jìn)而得到p(x)小于0,且得到h(x)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù),得到h(x)的增減性,利用函數(shù)的增減性即可得證.
解答:解:(Ⅰ)∵F(x,y)=(1+x)y
f(x)=F(1,log2(x2-4x+9))=2log2(x2-4x+9)=x2-4x+9,
故A(0,9),…(1分)
又過坐標(biāo)原點(diǎn)O向曲線C1作切線,切點(diǎn)為B(n,t) (n>0),f'(x)=2x-4.  
t=n2-4n+9
t
n
=2n-4

解得B( 3,6 ),…(2分)
S=
3
0
(x2-4x+9-2x)dx=(
x3
3
-3x2+9x)|03=9
.       …(4分)
(Ⅱ)g(x)=F(1,log2(x3+ax2+bx+1))=x3+ax2+bx+1,
設(shè)曲線C2在x0(-4<x0<-1)處有斜率為-8的切線,
又由題設(shè)log2(x3+ax2+bx+1)>0,g'(x)=3x2+2ax+b,
∴存在實(shí)數(shù)b使得
3x02+2ax0+b=-8      (1)   
-4<x0<-1              (2)
x03+ax02+bx0>0     (3)
有解,…(6分)
由(1)得b=-8-3x02-2ax0,代入(3)得-2x02-ax0-8<0,…(7分)
∴由
2x02+ax0+8>0
-4<x0<-1
有解,
得2×(-4)2+a×(-4)+8>0或2×(-1)2+a×(-1)+8>0,
∴a<10或a<10,
∴a<10.                                               …(9分)
(Ⅲ)令h(x)=
ln(1+x)
x
 , x≥1
,由h′(x)=
x
1+x
-ln(1+x)
x2
,…(10分)
又令p(x)=
x
1+x
-ln(1+x),  x>0
,
p′(x)=
1
(1+x)2
-
1
1+x
=
-x
(1+x)2
<0
,
∵p(x)在[0,+∞)連續(xù)∴p(x)在[0,+∞)單調(diào)遞減,…(12分)
∴當(dāng)x>0時(shí)有,p(x)<p(0)=0,
∴當(dāng)x≥1時(shí)有,h'(x)<0,
∴h(x)在[1,+∞)單調(diào)遞減,…(13分)
∴1≤x<y時(shí),有
ln(1+x)
x
ln(1+y)
y

∴yln(1+x)>xln(1+y),
∴(1+x)y>(1+y)x
∴當(dāng)x,y∈N*且x<y時(shí),F(xiàn)(x,y)>F(y,x).                …(14分)
點(diǎn)評(píng):此題考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點(diǎn)切線方程的斜率,會(huì)利用定積分求曲線圍成的面積,會(huì)根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性,是一道中檔題.
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2
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5
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