Question

定義F（x，y）=（1+x）^y，x，y∈（0，+∞），
（Ⅰ）令函數(shù)f(x)=F(3，log2(2x-x2+4))，寫出函數(shù)f（x）的定義域；
（Ⅱ）令函數(shù)g(x)=F(1，log2(x3+ax2+bx+1))的圖象為曲線C，若存在實(shí)數(shù)b使得曲線C在x₀（-4＜x₀＜-1）處有斜率為-8的切線，求實(shí)數(shù)a的取值范圍
（Ⅲ）當(dāng)x，y∈N^*且x＜y時(shí)，求證F（x，y）＞F（y，x）．

Answer 1

分析：（I）依據(jù)F（x，y）的定義，令log2(2x-x2+4)＞0，即可求得f（x）的定義域；
（II）利用題中的定義確定出g（x）的解析式，求出g（x）的導(dǎo)函數(shù)，把x=x₀代入導(dǎo)函數(shù)求出的導(dǎo)函數(shù)值即為-8，列出一個(gè)關(guān)系式，記作①，把-4＜x₀＜-1記作②，
由log₂（x³+ax²+bx+1）＞0，把x=x₀代入得到一個(gè)不等式，記作③，由①②③即可得到a的取值范圍．
（III）令h（x）

ln(1+x)

x

，求出h（x）的導(dǎo)函數(shù)，由分母大于0，令分子等于p（x），求出p（x）的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)p（x）導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，判斷p（x）的增減性，進(jìn)而得到p（x）小于0，且得到h（x）導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，得到h（x）的增減性，利用函數(shù)的增減性即可得證；

解答：解：（I）log2(2x-x2+4)＞0，即2x-x²+4＞1得函數(shù)f（x）的定義域是（-1，3），
（II）g（x）=F（1，log₂（x²+ax²+bx+1））=x³+ax²+bx+1，
設(shè)曲線C₂在x₀（-4＜x＜-1）處有斜率為-8的切線，
又由題設(shè)log₂（x³+ax²+bx+1）＞0，g'（x）=3x²+2ax+b，
∴存在實(shí)數(shù)b使得

3x02+2ax0+b=-8① -4＜x0＜-1② x03+ax02+bx0+1＞1③

有解，
由①得b=-8-3

x

2 0

-2ax0，代入③得-2

x

2 0

-ax0-8＜0，
∴由

2 x 2 0 +ax0+8＞0 -4＜x0＜-1

有解，
得a＜2(-x0)+

8

(-x0)

，因?yàn)?4＜x₀＜-1，所以2(-x0)+

8

(-x0)

∈[8，10)，
當(dāng)a＜10時(shí)，存在實(shí)數(shù)b，使得曲線C在x₀（-4＜x₀＜-1）處有斜率為-8的切線．
（III）令h(x)=

ln(1+x)

x

，x≥1，由h′(x)=

x 1+x -ln(1+x)

x2

，
又令p(x)=

x

1+x

-ln(1+x)，x＞0，∴p′(x)=

1

(1+x)2

-

1

1+x

=

-x

(1+x)2

＜0，
∴p（x）在[0，+∞）單調(diào)遞減．∴當(dāng)x＞0時(shí)有p（x）＜p（0）=0，∴當(dāng)x≥1時(shí)有h'（x）＜0，∴h（x）在[1，+∞）單調(diào)遞減，
∴1≤x＜y時(shí)，有

ln(1+x)

x

＞

ln(1+y)

y

，∴yln（1+x）＞xln（1+y），
∴（1+x）^y＞（1+y）^x
∴當(dāng)x，y∈N^*且x＜y時(shí)，F(xiàn)（x，y）＞F（y，x）．

點(diǎn)評：此題考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點(diǎn)切線方程的斜率，會(huì)根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生對新問題的分析解決能力．