Question

已知F₁，F(xiàn)₂是雙曲線x²-

y2

15

=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，以F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)的橢圓E的離心率等于

4

5

，點(diǎn)P（m，n）在橢圓E上運(yùn)動，線段F₁F₂是圓M的直徑         
（1）求橢圓E的方程；               
（2）求證：直線mx+ny=1與圓M相交，并且直線mx+ny=1截圓M所得弦長的取值范圍為[

2 143

3

，

2 399

5

]．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）求出雙曲線的焦點(diǎn)，可得橢圓的c=4，由離心率的計(jì)算公式可得a，進(jìn)而得到b，從而得到橢圓方程；
（2）求出圓M的方程，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到直線的距離d，判斷小于半徑，再由弦長公式，結(jié)合橢圓的參數(shù)方程，可得d的范圍，進(jìn)而得到弦長范圍．

解答： （1）解：雙曲線x²-

y2

15

=1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F₁（-4，0），F(xiàn)₂（4，0），
則橢圓的c=4，
橢圓E的離心率等于

4

5

，即

c

a

=

4

5

，即有a=5，b=

52-42

=3，
則橢圓E的方程為

x2

25

+

y2

9

=1；
（2）證明：圓M的圓心M為（0，0），半徑為4，
則圓M：x²+y²=16，
M到直線mx+ny=1的距離為d=

1

m2+n2

，
由于P在橢圓上，則可設(shè)m=5cosα，n=3sinα，
由m²+n²=25cos²α+9sin²α=16cos²α+9∈[9，25]，
則d∈[

1

5

，

1

3

]，則d＜r，直線和圓相交；
弦長a=2

r2-d2

=2

16-d2

，
則有a∈[

2 143

3

，

2 399

5

]．
故直線mx+ny=1截圓M所得弦長的取值范圍為[

2 143

3

，

2 399

5

]．

點(diǎn)評：本題考查橢圓和雙曲線的方程和性質(zhì)，考查直線和圓的位置關(guān)系，考查弦長公式的運(yùn)用，考查橢圓參數(shù)方程的運(yùn)用，屬于中檔題．