Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-4lnx，a∈R．
（1）當(dāng)a=

1

2

時，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）論f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=

1

2

時，f（x）=

1

2

x²-4lnx的定義域?yàn)椋?，+∞）；求導(dǎo)f′（x）=x-

4

x

；從而求切線方程；
（2）求導(dǎo)f′（x）=ax-

4

x

=

ax2-4

x

；討論a以確定函數(shù)的單調(diào)性的判斷．

解答： 解：（1）當(dāng)a=

1

2

時，f（x）=

1

2

x²-4lnx的定義域?yàn)椋?，+∞）；
f′（x）=x-

4

x

；
則f′（1）=1-4=-3，f（1）=

1

2

；
故曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為
y=-3（x-1）+

1

2

；
故6x+2y-7=0；
（2）f′（x）=ax-

4

x

=

ax2-4

x

；
當(dāng)a≤0時，f′（x）＜0；
故函數(shù)f（x）=ax²-4lnx在（0，+∞）上是減函數(shù)，
當(dāng)a＞0時，x∈（0，

2 a

a

）時，f′（x）＜0；
x∈（

2 a

a

，+∞）時，f′（x）＞0；
故f（x）在（0，

2 a

a

）上是減函數(shù)，在（

2 a

a

，+∞）上是增函數(shù)．

點(diǎn)評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，屬于中檔題．