如圖,橢圓的中心為原點(diǎn)O,長(zhǎng)軸在x軸上,離心率e=,過(guò)左焦點(diǎn)F1作x軸的垂線交橢圓于A、A′兩點(diǎn),=4.
(1)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)取平行于y軸的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)P、P′,過(guò)P、P′作圓心為Q的圓,使橢圓上的其余點(diǎn)均在圓Q外.求△PP′Q的面積S的最大值,并寫出對(duì)應(yīng)的圓Q的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(1)+=1 (2)2 (x+)2+y2=6,(x-)2+y2=6
解析解:(1)由題意知點(diǎn)A(-c,2)在橢圓上,則+=1,從而e2+=1,
又e=,故b2==8,從而a2==16.
故該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1.
(2)由橢圓的對(duì)稱性,可設(shè)Q(x0,0).又設(shè)M(x,y)是橢圓上任意一點(diǎn),則|QM|2=(x-x0)2+y2=x2-2x0x++8×(1-)=(x-2x0)2-+8(x∈[-4,4]).
設(shè)P(x1,y1),由題意知,P是橢圓上到Q的距離最小的點(diǎn),
因此,當(dāng)x=x1時(shí)|QM|2取最小值,
又x1∈(-4,4),所以當(dāng)x=2x0時(shí)|QM|2取最小值,
從而x1=2x0,且|QP|2=8-.
由對(duì)稱性知P′(x1,-y1),故|PP′|=|2y1|,
所以S=|2y1||x1-x0|
=×2|x0|
=
=·.
當(dāng)x0=±時(shí),△PP′Q的面積S取得最大值2.
此時(shí)對(duì)應(yīng)的圓Q的圓心坐標(biāo)為Q(±,0),半徑|QP|==,
因此,這樣的圓有兩個(gè),其標(biāo)準(zhǔn)方程分別為(x+)2+y2=6,(x-)2+y2=6.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知,直線,為平面上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作的垂線,垂足為點(diǎn),且.
(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡曲線的方程;
(2)設(shè)動(dòng)直線與曲線相切于點(diǎn),且與直線相交于點(diǎn),試探究:在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在一個(gè)定點(diǎn),使得以為直徑的圓恒過(guò)此定點(diǎn)?若存在,求出定點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.
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已知中心在原點(diǎn)的雙曲線的右焦點(diǎn)為,實(shí)軸長(zhǎng).
(1)求雙曲線的方程
(2)若直線與雙曲線恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn),且為銳角(其中為原點(diǎn)),求的取值范圍.
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設(shè)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)C在拋物線的準(zhǔn)線上,且BC∥x軸,證明:直線AC經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
P為圓A:上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn).線段PB的垂直平分線與半徑PA相交于點(diǎn)M,記點(diǎn)M的軌跡為Γ.
(1)求曲線Γ的方程;
(2)當(dāng)點(diǎn)P在第一象限,且時(shí),求點(diǎn)M的坐標(biāo).
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已知A,B分別是橢圓C1:+=1的左、右頂點(diǎn),P是橢圓上異于A,B的任意一點(diǎn),Q是雙曲線C2:-=1上異于A,B的任意一點(diǎn),a>b>0.
(1)若P(,),Q(,1),求橢圓C1的方程;
(2)記直線AP,BP,AQ,BQ的斜率分別是k1,k2,k3,k4,求證:k1·k2+k3·k4為定值.
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在平面直角坐標(biāo)系xOy中,F是拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn),M是拋物線C上位于第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn),過(guò)M,F,O三點(diǎn)的圓的圓心為Q,點(diǎn)Q到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為.
(1)求拋物線C的方程;
(2)是否存在點(diǎn)M,使得直線MQ與拋物線C相切于點(diǎn)M?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.
(3)若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為,直線l:y=kx+與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A,B,l與圓Q有兩個(gè)不同的交點(diǎn)D,E,求當(dāng)≤k≤2時(shí),|AB|2+|DE|2的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知常數(shù),向量,經(jīng)過(guò)定點(diǎn)以為方向向量的直線與經(jīng)過(guò)定點(diǎn)以為方向向量的直線相交于,其中,
(1)求點(diǎn)的軌跡的方程;(2)若,過(guò)的直線交曲線于兩點(diǎn),求的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn),短軸長(zhǎng)為2,一條準(zhǔn)線的方程為l:x=2.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),F是橢圓的右焦點(diǎn),點(diǎn)M是直線l上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F作OM的垂線與以O(shè)M為直徑的圓交于點(diǎn)N,求證:線段ON的長(zhǎng)為定值.
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