Question

【題目】如圖，在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，P，Q分別是BC，C1D1 ， AD1 ， BD的中點(diǎn)．

（1）求證：PQ∥平面DCC1D1；
（2）求PQ的長(zhǎng)；
（3）求證：EF∥平面BB1D1D．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖所示，連接AC，CD1，

∵P，Q分別為AD1、AC的中點(diǎn)，

∴PQ∥CD1，

∵CD1平面DCC1D1，PQ平面DCC1D1，

∴PQ∥平面DCC1D1

（2）解：由題意，可得：PQ= = a．

（3）證明：取CD中點(diǎn)G，連結(jié)EG、FG，

∵E，F(xiàn)分別是BC，C1D1的中點(diǎn)，

∴FG∥D1D，EG∥BD，

又FG∩EG=G，

∴平面FGE∥平面BB1D1D，

∵EF平面FGE，

∴EF∥平面BB1D1D

【解析】（1）連接AC，CD1 ， 由P，Q分別為AD1、AC的中點(diǎn)，知PQ∥CD1 ， 由此能夠證明PQ∥平面DCC1D1 ． （2）利用（1）的結(jié)論，直接求解即可．（3）取CD中點(diǎn)G，連結(jié)EG、FG，由已知得平面FGE∥平面BB1D1D，由此能證明EF∥平面BB1D1D．