【題目】已知數(shù)列滿足:,,

1)求,,,

2)求證:數(shù)列是等差數(shù)列,并求的通項公式;

3)設(shè),若不等式對任意恒成立,求實數(shù)的取值范圍.

【答案】1,,2)證明見解析,)(3

【解析】

1)根據(jù)已知條件求得的遞推關(guān)系式,由此先求出,進而依次求得的值.

2)由(1)中求得的的遞推關(guān)系式,利用配湊法證得數(shù)列是等差數(shù)列,由此求得數(shù)列的通項公式,進而求得數(shù)列的通項公式.

3)由(2)求得數(shù)列的通項公式,利用裂項求和法求得.

解法一:利用分離常數(shù)法化簡不等式,得到,利用數(shù)列的單調(diào)性證得,由此求得的取值范圍.

解法二:通過差比較法,化簡,對分類討論,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得的取值范圍.

1)由于,所以,

因為,所以,,,

2,

所以,,

所以,數(shù)列是以為首項,為公差的等差數(shù)列.

所以,,).

3)因為,從而,

所以,

解法一:

所以,不等式化為

時恒成立,

,

隨著的增大而減小,且恒成立.

,所以,實數(shù)的取值范圍是

解法二:

,

若不等式對任意恒成立,則當且僅當對任意恒成立.

設(shè),由題意,

時,恒成立;

時,函數(shù)圖像的對稱軸為

上單調(diào)遞減,即上單調(diào)遞減,故只需即可,

,得,所以當時,恒成立.

綜上所述,實數(shù)的取值范圍是

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3)設(shè)),,若對于,都有,求實數(shù)的取值范圍.

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2)在(1)的結(jié)論下,試判斷數(shù)列是否為等比源數(shù)列,并證明你的結(jié)論;

3)已知無窮數(shù)列為等差數(shù)列,且,),求證:數(shù)列等比源數(shù)列”.

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