【題目】若數(shù)列中存在三項,按一定次序排列構(gòu)成等比數(shù)列,則稱等比源數(shù)列

1)在無窮數(shù)列中,,求數(shù)列的通項公式;

2)在(1)的結(jié)論下,試判斷數(shù)列是否為等比源數(shù)列,并證明你的結(jié)論;

3)已知無窮數(shù)列為等差數(shù)列,且,),求證:數(shù)列等比源數(shù)列”.

【答案】1;(2)不是,證明見解析;(3)證明見解析.

【解析】

1)由,可得出,則數(shù)列為等比數(shù)列,然后利用等比數(shù)列的通項公式可間接求出

2)假設(shè)數(shù)列為“等比源數(shù)列”,則此數(shù)列中存在三項成等比數(shù)列,可得出,展開后得出,然后利用數(shù)的奇偶性即可得出結(jié)論;

3)設(shè)等差數(shù)列的公差為,假設(shè)存在三項使得,展開得出,從而可得知,當,時,原命題成立.

1,得,即,且.

所以,數(shù)列是以為首項,以為公比的等比數(shù)列,則,

因此,

2)數(shù)列不是“等比源數(shù)列”,下面用反證法來證明.

假設(shè)數(shù)列是“等比源數(shù)列”,則存在三項、,設(shè).

由于數(shù)列為單調(diào)遞增的正項數(shù)列,則,所以.

,化簡得,

等式兩邊同時除以,

,且、、,則,,,

為偶數(shù),為奇數(shù),等式不成立.

因此,數(shù)列中不存在任何三項,按一定的順序排列構(gòu)成“等比源數(shù)列”;

3)不妨設(shè)等差數(shù)列的公差.

時,等差數(shù)列為非零常數(shù)列,此時,數(shù)列為“等比源數(shù)列”;

時,,則,數(shù)列中必有一項,

為了使得數(shù)列為“等比源數(shù)列”,只需數(shù)列中存在第項、第項使得,

且有,即

,

時,即當,時,

等式成立,

所以,數(shù)列中存在、成等比數(shù)列,因此,等差數(shù)列是“等比源數(shù)列”.

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