在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E、F為棱AD、AB的中點.
(1)求證:EF∥平面CB1D1;
(2)求證:平面CAA1C1⊥平面CB1D1
(1)見解析(2)見解析
本題主要考查線面平行的判定定理和線面垂直的判定定理.考查對基礎知識的綜合應用能力和基本定理的掌握能力。
(Ⅰ)欲證EF∥平面CB1D1,根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證EF與平面CB1D1內(nèi)一直線平行,連接BD,根據(jù)中位線可知EF∥BD,則EF∥B1D1,又B1D1?平面CB1D1,EF?平面CB1D1,滿足定理所需條件;
(Ⅱ)欲證平面CAA1C1⊥平面CB1D1,根據(jù)面面垂直的判定定理可知在平面CB1D1內(nèi)一直線與平面CAA1C1垂直,而AA1⊥平面A1B1C1D1,B1D1?平面A1B1C1D1,則AA1⊥B1D1,A1C1⊥B1D1,滿足線面垂直的判定定理則B1D1⊥平面CAA1C1,而B1D1?平面CB1D1,滿足定理所需條件.
解:(1)證明:連結(jié)BD.
在長方體中,對角線.
 E、F為棱AD、AB的中點,
.
.
又B1D1平面平面,
  EF∥平面CB1D1.                  
(2) 在長方體中,AA1⊥平面A1B1C1D1,而B1D1平面A1B1C1D1,
 AA1⊥B1D1.
在正方形A1B1C1D1中,A1C1⊥B1D1,
 B1D1⊥平面CAA1C1.
 B1D1平面CB1D1
平面CAA1C1⊥平面CB1D1
練習冊系列答案
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