設(shè)橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2距離為4,直線了l1:x=-
a2
c
與x軸交于點(diǎn)Q(-3,0).
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)過點(diǎn)Q且傾斜角為30°的直線l交橢圓于A,B兩點(diǎn),求證:點(diǎn)F1(-2,0)在以線段AB為直徑的圓上.
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,直線l上有兩個(gè)不重合的動點(diǎn)C,D,求以CD為直徑且過點(diǎn)F1的所有圓中,面積最小的圓的半徑長.
分析:(I)由題意可得
2c=4
-
a2
c
=-3
a2=b2+c2
,解得即可;
(II)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).直線l的方程為y=
3
3
(x+3)
,與橢圓的方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系,利用數(shù)量積只要證明
F1A
F1B
=0即可;
(III)利用點(diǎn)到直線的距離公式得出:點(diǎn)F1到直線ly=
3
3
(x+3)
距離d,并以d=r得到的圓的面積最。
解答:解:(I)由題意可得
2c=4
-
a2
c
=-3
a2=b2+c2
,解得a2=6,b2=2,c=2.
∴橢圓的方程為
x2
6
+
y2
2
=1

(II)直線l的方程為y=
3
3
(x+3)
,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).
聯(lián)立
y=
3
3
(x+3)
x2
6
+
y2
2
=1
,化為2x2+6x+3=0,可得△>0.
∴x1+x2=-3,x1x2=
3
2

F1A
F1B
=(x1+2,y1)•(x2+2,y2
=(x1+2)(x2+2)+y1y2
=x1x2+2(x1+x2)+4+
1
3
(x1+3)(x2+3)

=
4
3
x1x2+3(x1+x2)+7
=
4
3
×
3
2
+3×(-3)+7
=0,
F1A
F1B

∴點(diǎn)F1(-2,0)在以線段AB為直徑的圓上.
(III)點(diǎn)F1到直線l:y=
3
3
(x+3)
x-
3
y+3=0
的距離d=
|-2+3|
12+(-
3
)2
=
1
2

以r=
1
2
=
2
2
為半徑的圓的面積最。
點(diǎn)評:本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、數(shù)量積與向量垂直的關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式、圓的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識與基本技能方法,屬于難題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,A是橢圓上的一點(diǎn),C,原點(diǎn)O到直線AF1的距離為
1
3
|OF1|

(Ⅰ)證明a=
2
b
;
(Ⅱ)求t∈(0,b)使得下述命題成立:設(shè)圓x2+y2=t2上任意點(diǎn)M(x0,y0)處的切線交橢圓于Q1,Q2兩點(diǎn),則OQ1⊥OQ2

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
上的動點(diǎn)Q,過動點(diǎn)Q作橢圓的切線l,過右焦點(diǎn)作l的垂線,垂足為P,則點(diǎn)P的軌跡方程為( 。
A、x2+y2=a2
B、x2+y2=b2
C、x2+y2=c2
D、x2+y2=e2

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)P是橢圓
x2a2
+y2=1   (a>1)
短軸的一個(gè)端點(diǎn),Q為橢圓上一個(gè)動點(diǎn),求|PQ|的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•即墨市模擬)設(shè)橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率為
1
2
,右焦點(diǎn)為F(c,0),方程ax2+bx-c=0的兩個(gè)實(shí)根分別為x1和x2,則點(diǎn)P(x1,x2)(  )

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)-1<a<-
1
2
,則橢圓
x2
a2
+
y2
(a+1)2
=1
的離心率的取值范圍是( 。

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案