Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當時，求函數(shù)的最小值；

（2）若函數(shù)在上單調，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)1；(2) .

【解析】試題分析：

(1)由題意求得導函數(shù)，結合函數(shù)的單調性可得函數(shù)的最小值為f(1)=1；

(2)首先求解導函數(shù)，然后分類討論函數(shù)單調遞增和單調遞減兩種情況可得實數(shù)的取值范圍是.

試題解析：

(1)由題意知,函數(shù)的定義域為(0,+∞),

當a=2時,f'(x)=2x-,

由f'(x)<0得0<x<1,故f(x)的單調遞減區(qū)間是(0,1).

由f'(x)>0得x>1,故f(x)的單調遞增區(qū)間是(1,+)

所以函數(shù)的最小值為f(1)=1

(2)由題意得g'(x)=2x-,函數(shù)g(x)在[1,+∞)上是單調函數(shù).

①若g(x)為[1,+∞)上的單調增函數(shù),則g'(x)≥0在[1,+∞)上恒成立,

即a2x2在[1,+∞)上恒成立,

設φ(x)=2x2,

∵φ(x)在[1,+∞)上單調遞增,∴φ(x)min=φ(1)=0,∴a≤0.

②若g(x)為[1,+∞)上的單調減函數(shù),則g'(x)≤0即a2x2由①知φ(x)=2x2在[1,+∞)上單調增，x趨向于無窮大時φ(x)趨向于無窮大，φ(x)無最大值,故不可能.

綜上所述，a的取值范圍為a≤0.