【題目】已知函數(shù)f(x)= ,曲線y=f(x)在點x=e2處的切線與直線x﹣2y+e=0平行.
(1)若函數(shù)g(x)= f(x)﹣ax在(1,+∞)上是減函數(shù),求實數(shù)a的最小值;
(2)若函數(shù)F(x)=f(x)﹣ 無零點,求k的取值范圍.

【答案】
(1)解:由 ,得 ,解得m=2,

,則 ,函數(shù)g(x)的定義域為(0,1)∪(1,+∞),

,又函數(shù)g(x)在(1,+∞)上是減函數(shù),

在(1,+∞)上恒成立,

∴當x∈(1,+∞)時, 的最大值.

,即右邊的最大值為 ,

,故實數(shù)a的最小值 ;


(2)解:由題可得 ,且定義域為(0,1)∪(1,+∞),

要使函數(shù)F(x)無零點,即 在(0,1)∪(1,+∞)內(nèi)無解,

亦即 在(0,1)∪(1,+∞)內(nèi)無解.

構(gòu)造函數(shù) ,則

1)當k≤0時,h'(x)<0在(0,1)∪(1,+∞)內(nèi)恒成立,

∴函數(shù)h(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減,在(1,+∞)內(nèi)也單調(diào)遞減.

又h(1)=0,∴當x∈(0,1)時,h(x)>0,即函數(shù)h(x)在(0,1)內(nèi)無零點,

同理,當x∈(1,+∞)時,h(x)<0,即函數(shù)h(x)在(1,+∞)內(nèi)無零點,

故k≤0滿足條件;

2)當k>0時,

①若0<k<2,則函數(shù)h(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減,在 內(nèi)也單調(diào)遞減,在 內(nèi)單調(diào)遞增.

又h(1)=0,∴h(x)在(0,1)內(nèi)無零點;

,而 ,故在 內(nèi)有一個零點,∴0<k<2不滿足條件;

②若k=2,則函數(shù)h(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減,在(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.

又h(1)=0,∴當x∈(0,1)∪(1,+∞)時,h(x)>0恒成立,故無零點.∴k=2滿足條件;

③若k>2,則函數(shù)h(x)在 內(nèi)單調(diào)遞減,在 內(nèi)單調(diào)遞增,在(1,+∞)內(nèi)也單調(diào)遞增.

又h(1)=0,∴在 及(1,+∞)內(nèi)均無零點.

易知 ,又h(ek)=k×(﹣k)﹣2+2ek=2ek﹣k2﹣2=(k),

'(k)=2(ek﹣k)>0,則(k)在k>2為增函數(shù),∴(k)>(2)=2e2﹣6>0.

故函數(shù)h(x)在 內(nèi)有一零點,k>2不滿足.

綜上:k≤0或k=2


【解析】(1)求出原函數(shù)的導函數(shù),得到函數(shù)在x=e2處的導數(shù),由導數(shù)值等于 求得m值,得到 ,進一步求得 ,利用函數(shù)g(x)在(1,+∞)上是減函數(shù),可得 在(1,+∞)上恒成立,分離參數(shù)a,得 .利用配方法求得右邊的最大值可得實數(shù)a的最小值;(2)由題可得 ,且定義域為(0,1)∪(1,+∞),若函數(shù)F(x)無零點,即 在定義域內(nèi)無解,構(gòu)造函數(shù) ,得 ,分當k≤0和k>0分類分析得答案.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減.

練習冊系列答案
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B.
C.2
D.

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fx)的值域為[0,1];

fx)是以3為周期的函數(shù);

fx)是定義在R上的奇函數(shù);

fx)在區(qū)間[-3,-2]上單調(diào)遞增.

其中正確的有_________(寫出所有正確結(jié)論的編號).

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