【題目】如圖四棱柱中,,,,M為的中點.
(1)證明:平面;
(2)若四邊形是菱形,且面面,,求二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析;(2).
【解析】
(1)取的中點N,連接,,可證四邊形是平行四邊形,可得,進(jìn)一步可證平面;
(2)證明,,兩兩垂直后,以A為原點,,,所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用平面的法向量可求得結(jié)果.
(1)取的中點N,連接,,
∵M為的中點,∴且
又, ,所以且,
所以四邊形是平行四邊形,
從而,又平面,平面,
所以平面.
(2)取的中點P,連接,,
∵四邊形為菱形,又,易知.
又面面,面面,
∴平面,
故,,兩兩垂直
以A為原點,,,所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖所示),不妨設(shè).
則,,,,,,
,,
設(shè)平面的法向量為,
由,得,
可得平面的一個法向量,
設(shè)平面的法向量為,
由,得,
可得平面的一個法向量.
∴
所以二面角的余弦值為.
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【題目】某品牌電腦體驗店預(yù)計全年購入臺電腦,已知該品牌電腦的進(jìn)價為元/臺,為節(jié)約資金決定分批購入,若每批都購入(為正整數(shù))臺,且每批需付運費元,儲存購入的電腦全年所付保管費與每批購入電腦的總價值(不含運費)成正比(比例系數(shù)為),若每批購入臺,則全年需付運費和保管費元.
(1)記全年所付運費和保管費之和為元,求關(guān)于的函數(shù).
(2)若要使全年用于支付運費和保管費的資金最少,則每批應(yīng)購入電腦多少臺?
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【題目】已知f(x)=,若關(guān)于的方程恰好有 4 個不相等的實數(shù)解,則實數(shù)的取值范圍為( )
A. B. () C. D. (0,)
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【題目】已知函數(shù)(其中).
(1)當(dāng)時,求函數(shù)的圖像在處的切線方程;
(2)若恒成立,求的取值范圍;
(3)設(shè),且函數(shù)有極大值點,求證: .
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【題目】在統(tǒng)計學(xué)中,同比增長率一般是指和去年同期相比較的增長率,環(huán)比增長率一般是指和前一時期相比較的增長率.2020年2月29日人民網(wǎng)發(fā)布了我國2019年國民經(jīng)濟和社會發(fā)展統(tǒng)計公報圖表,根據(jù)2019年居民消費價格月度漲跌幅度統(tǒng)計折線圖,下列說法正確的是( )
A.2019年我國居民每月消費價格與2018年同期相比有漲有跌
B.2019年我國居民每月消費價格中2月消費價格最高
C.2019年我國居民每月消費價格逐月遞增
D.2019年我國居民每月消費價格3月份較2月份有所下降
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【題目】隨著網(wǎng)購人數(shù)的日益增多,網(wǎng)上的支付方式也呈現(xiàn)一種多樣化的狀態(tài),越來越多的便捷移動支付方式受到了人們的青睞,更被網(wǎng)友們評為“新四大發(fā)明”之一.隨著人們消費觀念的進(jìn)步,許多人喜歡用信用卡購物,考慮到這一點,一種“網(wǎng)上的信用卡”橫空出世——螞蟻花唄.這是一款支付寶和螞蟻金融合作開發(fā)的新支付方式,簡單便捷,同時也滿足了部分網(wǎng)上消費群體在支付寶余額不足時的“賒購”消費需求.為了調(diào)查使用螞蟻花唄“賒購”消費與消費者年齡段的關(guān)系,某網(wǎng)站對其注冊用戶開展抽樣調(diào)查,在每個年齡段的注冊用戶中各隨機抽取100人,得到各年齡段使用螞蟻花唄“賒購”的人數(shù)百分比如圖所示.
(1)由大數(shù)據(jù)可知,在18到44歲之間使用花唄“賒購”的人數(shù)百分比y與年齡x成線性相關(guān)關(guān)系,利用統(tǒng)計圖表中的數(shù)據(jù),以各年齡段的區(qū)間中點代表該年齡段的年齡,求所調(diào)查群體各年齡段“賒購”人數(shù)百分比y與年齡x的線性回歸方程(回歸直線方程的斜率和截距保留兩位有效數(shù)字);
(2)該網(wǎng)站年齡為20歲的注冊用戶共有2000人,試估算該網(wǎng)站20歲的注冊用戶中使用花唄“賒購”的人數(shù);
(3)已知該網(wǎng)店中年齡段在18-26歲和27-35歲的注冊用戶人數(shù)相同,現(xiàn)從18到35歲之間使用花唄“賒購”的人群中按分層抽樣的方法隨機抽取8人,再從這8人中簡單隨機抽取2人調(diào)查他們每個月使用花唄消費的額度,求抽取的兩人年齡都在18到26歲的概率.
參考答案:,.
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【題目】隨著移動互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展,與餐飲美食相關(guān)的手機APP軟件層出不窮.現(xiàn)從某市使用A和B兩款訂餐軟件的商家中分別隨機抽取100個商家,對它們的“平均送達(dá)時間”進(jìn)行統(tǒng)計,得到頻率分布直方圖如下.
(1)已知抽取的100個使用A款訂餐軟件的商家中,甲商家的“平均送達(dá)時間”為18分鐘,F(xiàn)從使用A款訂餐軟件的商家中“平均送達(dá)時間”不超過20分鐘的商家中隨機抽取3個商家進(jìn)行市場調(diào)研,求甲商家被抽到的概率;
(2)試估計該市使用A款訂餐軟件的商家的“平均送達(dá)時間”的眾數(shù)及平均數(shù);
(3)如果以“平均送達(dá)時間”的平均數(shù)作為決策依據(jù),從A和B兩款訂餐軟件中選擇一款訂餐,你會選擇哪款?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以坐標(biāo)原點O為極點,以x軸的非負(fù)半軸為極軸,取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為.
(1)寫出直線的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程;
(2)已知定點,直線與曲線C分別交于P、Q兩點,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓的一個頂點與拋物線的焦點重合,,分別是橢圓的左、右焦點,離心率,過橢圓右焦點的直線與橢圓交于,兩點.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)是否存在直線,使得,若存在,求出直線的方程;若不存在,說明理由;
(Ⅲ)設(shè)點是一個動點,若直線的斜率存在,且為中點,,求實數(shù)的取值范圍.
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