Question

（本小題滿分12分）
已知矩形與正三角形所在的平面互相垂直， 、分別為棱、的中點(diǎn)，,，
(1)證明：直線平面；
(2)求二面角的大小．

Answer 1

（1）見(jiàn)解析；（2）.

(1)取EC的中點(diǎn)F，連接FM，F(xiàn)N，則可以證明四邊形AMFN為平行四邊形，從而證明AM//NF，問(wèn)題得證.
（2）可以采用傳統(tǒng)方法找（或作）出二面角的平面角，也可以考慮用空間向量法求二面角.
方法一：（1）證明：取EC的中點(diǎn)F，連接FM，FN，
則，，， ………………………2分
所以且，所以四邊形為平行四邊形，
所以，                           …………………………………4分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823214519695554.png" style="vertical-align:middle;" />平面，平面，
所以直線平面；                  …………………………………6分
（2）解：由題設(shè)知面面，，
又，∴面，作于，則，作，連接，由三垂線定理可知，
∴就是二面角的平面角，  …………………………………9分
在正中，可得，在中，可得，故在中，，               ………………………………11分
所以二面角的大小為    …………………………12分

方法二：如圖以N為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間右手
直角坐標(biāo)系,所以 
 …1分
（1）取EC的中點(diǎn)F，所以，                   
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823214520631685.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以，；，………3分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823214520740961.png" style="vertical-align:middle;" />，，所以  ………………………5分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823214519695554.png" style="vertical-align:middle;" />平面，所以直線平面    ………………………7分
（2）設(shè)平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823214520912656.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以，；所以……………9分
         ………………………………11分
因?yàn)槎�面�?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823214519383629.png" style="vertical-align:middle;" />的大小為銳角,
所以二面角的大小為     ………………………………12分