已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率e=
2
2
,點(diǎn)F為橢圓的右焦點(diǎn),點(diǎn)A、B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn),點(diǎn)M為橢圓的上頂點(diǎn),且滿足
MF
FB
=
2
-1

(1)求橢圓C的方程;
(2)是否存在直線l,當(dāng)直線l交橢圓于P、Q兩點(diǎn)時(shí),使點(diǎn)F恰為△PQM的垂心.若存在,求出直線l的方程;若不存在,請說明理由.
(1)根據(jù)題意得,F(xiàn)(c,0),A(-a,0),B(a,0),M(0,b)
MF
=(c,-b),
FB
=(a-c,0)

MF
FB
=ac-c2=
2
-1
(2分)
e=
c
a
=
2
2

a=
2
c

2
c2-c2=
2
-1

∴c2=1,a2=2,b2=1
∴橢圓C的方程為
x2
2
+y2=1
.(4分)
(2)假設(shè)存在直線l滿足條件,使F是三角形MPQ的垂心.
因?yàn)镵MF=-1,且FM⊥l,
所以k1=1,
所以設(shè)PQ直線y=x+m,
且設(shè)P(x1,y1),Q(x2),y2
y=x+m
x2
2
+y2=1

消y,得3x2+4mx+2m2-2=0
△=16m2-12(2m2-2)>0,m2<3x1+x2=-
4m
3
x1x2=
2m2-2
3

y1y2=(x1+m)(x2+m)=x1x2+m(x1+x2)+m2=
2m2-2
3
-
4m2
3
+m2=
m2-2
3
.(8分)
又F為△MPQ的垂心,
∴PF⊥MQ,∴
PF
MQ
=0

PF
(1-x1,-y1),
MQ
=(x2,y2-1)

PF
MQ
=x2+y1-x1x2-y1y2=x2+x1+m-x1x2-y1y2
=-
4
3
m+m-
2m2-2
3
-
m2-2
3
=0
-
m
3
-m2+
4
3
=0

3m2+m-4=0,m=-
4
3
,m=1
(10分)
經(jīng)檢驗(yàn)滿足m2<3(11分)
∴存在滿足條件直線l方程為:x-y+1=0,3x-3y-4=0(12分)
∵x-y+1=0過M點(diǎn) 即MP重合 不構(gòu)成三角形,
∴3x-3y-4=0滿足題意.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,半圓的直徑的長為4,點(diǎn)平分弧,過的垂線交,交
(1)求證:
(2)若的角平分線,求的長.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖所示,已知,在邊長為1的正方形ABCD的一邊上取一點(diǎn)E,使AE=AD,從AB的中點(diǎn)F作HF⊥EC于H.

(1)求證:FH=FA;
(2)求EH∶HC的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

已知直線l與橢圓
x2
36
+
y2
9
=1
交于A和B兩點(diǎn),點(diǎn)(4,2)是線段AB的中點(diǎn),則直線l的方程是______.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

若點(diǎn)P(2,-1)平分橢圓
x2
12
+
y2
8
=1
的一條弦,則該弦所在的直線方程為______.(結(jié)果寫成一般式)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,設(shè)橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)長軸的右端點(diǎn)為A,短軸端點(diǎn)分別為B、C,另有拋物線y=x2+b.
(Ⅰ)若拋物線上存在點(diǎn)D,使四邊形ABCD為菱形,求橢圓的方程;
(Ⅱ)若a=2,過點(diǎn)B作拋物線的切線,切點(diǎn)為P,直線PB與橢圓相交于另一點(diǎn)Q,求
|PQ|
|QB|
的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

給定橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,稱圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)O,半徑為
a2+b2
的圓是橢圓C的“伴隨圓”,已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是F1(-
2
,0),F2(
2
,0)

(1)若橢圓C上一動(dòng)點(diǎn)M1滿足|
M1F1
|+|
M1F2
|=4,求橢圓C及其“伴隨圓”的方程;
(2)在(1)的條件下,過點(diǎn)P(0,t)(t<0)作直線l與橢圓C只有一個(gè)交點(diǎn),且截橢圓C的“伴隨圓”所得弦長為2
3
,求P點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)已知m+n=-
cosθ
sinθ
,mn=-
3
sinθ
(m≠n,θ∈
(0,π)),是否存在a,b,使橢圓C的“伴隨圓”上的點(diǎn)到過兩點(diǎn)(m,m2),(n,n2)的直線的最短距離dmin=
a2+b2-b
.若存在,求出a,b的值;若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

如圖,⊙的直徑,延長線上的一點(diǎn),過點(diǎn)作⊙的切線,切點(diǎn)為,連接,若,               

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

如圖,AB和CD是圓的兩條弦, AB與CD相交于點(diǎn)E,且,,則 ______;______.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案