Question

設(shè)同時(shí)滿足條件：①；②b_n≤M（n∈N₊，M是與n無(wú)關(guān)的常數(shù)）的無(wú)窮數(shù)列{b_n}叫“嘉文”數(shù)列．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足：（a為常數(shù)，且a≠0，a≠1）．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，若數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，求a的值，并證明此時(shí)為“嘉文”數(shù)列．

Answer 1

解：（1）因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/134890.png' />，所以a₁=a
當(dāng)n≥2時(shí)，，即{a_n}以a為首項(xiàng)，a為公比的等比數(shù)列．
∴； …（4分）
（2）由（1）知，，
若{b_n}為等比數(shù)列，則有，而b₁=3，，
故，解得…（7分）
再將代入得：，其為等比數(shù)列，所以成立…（8分）
由于①…（10分）
（或做差更簡(jiǎn)單：因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/277736.png' />，所以也成立）
②，故存在；
所以符合①②，故為“嘉文”數(shù)列…（12分）
分析：（1）當(dāng)n≥2時(shí)，，從而可得{a_n}以a為首項(xiàng)，a為公比的等比數(shù)列，由此可求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）確定數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)，利用{b_n}為等比數(shù)列，可求a的值；驗(yàn)證“嘉文”數(shù)列的兩個(gè)條件，即可證得．
點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的定義與通項(xiàng)，考查新定義，解題的關(guān)鍵是理解新定義，正確運(yùn)用新定義，屬于中檔題．