(1)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=
2an2+3an+m
an+1
(n∈N*)
,①若恒有an+1≥an,求m的取值范圍.②在-3≤m<1時,證明:
1
a1+1
+
1
a2+1
+…+
1
an+1
≥1-
1
2n

(2)設(shè)正項數(shù)列{an}的通項an滿足條件:(ann+nan-1=0(n∈N*),求證:0<an
1
2
分析:(1)①將該不等式進行等價轉(zhuǎn)化,利用分離變量思想轉(zhuǎn)化為函數(shù)恒成立問題,從而求出m的取值范圍;
②將每一項進行適當(dāng)放縮轉(zhuǎn)化,通過放縮轉(zhuǎn)化化為特殊數(shù)列進行求和,即可證明.
(2)構(gòu)造函數(shù),通過函數(shù)的導(dǎo)數(shù),判斷函數(shù)的單調(diào)性,利用零點存在定理,判斷即可.
解答:解:(1)①由題意可知an+1=
2an2+3an+m
an+1
≥an,可得m≥-
a
2
n
 -an
,
因為an+1≥an,所以數(shù)列是遞增數(shù)列,
∴m≥-3.
②-3≤m<1時,由①知an+1≥an,且an>0.
設(shè)數(shù)列cn=
1
an+1
,則cn+1=
1
an+1+1
=
1
2
a
2
n
+3an+m
an+1
+1
=
an+1
2(an+1)2+m-1
,
∵m<1,即m-1<0,
cn+1
an+1
2(an+1)2
=
1
2
1
an+1
=
1
2
cn
,
c1=
1
2
,c2
1
2
c1=
1
22
,c3
1
2
c2
1
23
,…,cn
1
2
cn-1
1
2n
(n≥2)

c1+c2+…+cn=
1
a1+1
+
1
a2+1
+…+
1
an+1
1
2
+
1
22
+…+
1
2n
=
1
2
(1-
1
2n
)
1-
1
2

=1-
1
2n

即在-3≤m<1時,有
1
a1+1
+
1
a2+1
+…+
1
an+1
≥1-
1
2n
成立.
cn=
1
an+1

(2)令f(x)=xn+nx-1,
f′(x)=nxn-1+n,
x>0,f′(x)>0,所以函數(shù)是增函數(shù),
f(0)<0  , f(
1
2
)≥0

所以f(x)=0在(0,+∞)上恰有一根,且根在(0,
1
2
]
上,
得證
點評:本題考查給出數(shù)列的遞推關(guān)系,考查根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系確定數(shù)列的通項公式的方法,關(guān)鍵要轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列,考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸思想,處理數(shù)列恒成立問題的函數(shù)思想.放縮法證明不等式的思想,做好這類問題的關(guān)鍵是向特殊數(shù)列的轉(zhuǎn)化.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)已知數(shù)列{an}的第1項 a1=1,且an+1=
an
1+an
( n=1,2,3…)使用歸納法歸納出這個數(shù)列的通項公式.(不需證明)
(2)用分析法證明:若a>0,則
a2+
1
a2
-
2
≥a+
1
a
-2.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,且a1=2,a1+a2+a3=12,求數(shù)列{an}的通項公式
(2)已知數(shù)列{an}的通項公式為an=n•2n,求數(shù)列{an}的前n項和.

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(1)已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),前n項和為Sn,若Sn=
1
4
(an+1)2
①求{an}的通項公式;
②設(shè)m,k,p∈N*,m+p=2k,求證:
1
Sm
+
1
Sp
2
Sk

(2)若{an}是等差數(shù)列,前n項和為Tn,求證:對任意n∈N*,Tn,Tn+1,Tn+2不能構(gòu)成等比數(shù)列.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)已知數(shù)列{an}中,a1=1,且滿足an+1=3an+1,n∈N*,求數(shù)列{an}的通項公式
(2)已知數(shù)列{an}中,a1=2,an=
an-12an-1+1
(n≥2)
,求數(shù)列{an}的通項公式.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=3n2-2n,求證數(shù)列{an}成等差數(shù)列.
(2)已知
1
a
,
1
b
1
c
成等差數(shù)列,求證
b+c
a
,
c+a
b
,
a+b
c
也成等差數(shù)列.

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