分析:(1)①利用n=1時,a
1=S
1即可得出,當(dāng)n≥1時,a
n+1=S
n+1-S
n即可得出a
n;
②由①可得a
n=2n-1為等差數(shù)列,再利用等差數(shù)列的前n項和公式即可得到S
n,再利用基本不等式即可證明
+-
>0.
(2)由{a
n}是等差數(shù)列,設(shè)公差為d.假設(shè)存在m∈N
*,
Tm ,T
m+1,T
m+2構(gòu)成等比數(shù)列.得
=Tm•Tm+1即
(Tm+am+1)2=Tm(Tm+am+1+am+2),
化為dT
m=
,即
+mda1+m(m+1)d2=0(*)對分類討論即可得出.
解答:(1)解:①由S
n=
(an+1)2,可得
Sn+1=(an+1+1)2,
兩式相減得
an+1=(an+1-an)(an+1+an+2),
化為(a
n+1+a
n)(a
n+1-a
n-2)=0.
∵a
n>0,∴a
n+1-a
n-2=0,即a
n+1-a
n=2.
∴數(shù)列{a
n}是公差為2的等差數(shù)列.
又
a1=S1=(a1+1)2,化為
(a1-1)2=0,解得a
1=1.
∴a
n=1+(n-1)×2=2n-1.
②由①知
Sn==n2,
∴
+-
=
+-=
,
又∵m,k,p∈N
*,m+p=2k,∴
k=.
∴
+-
=
≥
=0,
∴
+≥
成立.
(2)由{a
n}是等差數(shù)列,設(shè)公差為d,
假設(shè)存在m∈N
*,
Tm ,T
m+1,T
m+2構(gòu)成等比數(shù)列.即
=Tm•Tm+2.
∴
(Tm+am+1)2=Tm(Tm+am+1+am+2),
化為dT
m=
,即
+mda1+m(m+1)d2=0(*)
若d=0,則a
1=0,∴T
m=T
m+1=T
m+2=0,這與
Tm ,T
m+1,T
m+2構(gòu)成等比數(shù)列矛盾.
若d≠0,要使(*)式中的首項a
1存在,必須△≥0,
然而△=m
2d
2-2m(m+1)d
2=-(m
2+2m)d
2<0,矛盾.
綜上所述,對任意n∈N
*,T
n,T
n+1,T
n+2不能構(gòu)成等比數(shù)列.
點評:熟練掌握等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式及其關(guān)系:(n=1時,a1=S1即可得出,當(dāng)n≥1時,an+1=Sn+1-Sn即可得出an)、基本不等式的性質(zhì)、分類討論的思想方法、反證法等是解題的關(guān)鍵.