(1)已知數(shù)列{an}的第1項(xiàng) a1=1,且an+1=
an
1+an
( n=1,2,3…)使用歸納法歸納出這個數(shù)列的通項(xiàng)公式.(不需證明)
(2)用分析法證明:若a>0,則
a2+
1
a2
-
2
≥a+
1
a
-2.
分析:(1)由 a1=1,且an+1=
an
1+an
 可求得數(shù)列的前若干項(xiàng),根據(jù)每項(xiàng)的結(jié)構(gòu)特征猜想通項(xiàng)公式.
(2)只需證
a2+
1
a2
+2≥a+
1
a
+
2
,只需證(
a2+
1
a2
+2)2≥(a+
1
a
+
2
2
只需證
a2+
1
a2
2
2
(a+
1
a
),即證 a2+
1
a2
≥2,而它顯然是成立.
解答:解:(1)由 a1=1,且an+1=
an
1+an
 可得,a2=
a1
1+a1
=
1
2
,a3=
a2
1+a2
=
1
3
,猜想 an = 
1
n

(2)證明:要證
a2+
1
a2
-
2
≥a+
1
a
-2,只需證
a2+
1
a2
+2≥a+
1
a
+
2

∵a>0,∴兩邊均大于零,因此只需證(
a2+
1
a2
+2)2≥(a+
1
a
+
2
2,
只需證a2+
1
a2
+4+4
a2+
1
a2
≥a2+
1
a2
+2+2
2
(a+
1
a
),
只需證
a2+
1
a2
2
2
(a+
1
a
),只需證a2+
1
a2
1
2
(a2+
1
a2
+2),
即證a2+
1
a2
≥2,它顯然是成立,∴原不等式成立.
點(diǎn)評:本題考查歸納推理,以及用分析法證明不等式,尋找使不等式成立的充分條件,是解題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,且a1=2,a1+a2+a3=12,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式
(2)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n•2n,求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),前n項(xiàng)和為Sn,若Sn=
1
4
(an+1)2
①求{an}的通項(xiàng)公式;
②設(shè)m,k,p∈N*,m+p=2k,求證:
1
Sm
+
1
Sp
2
Sk

(2)若{an}是等差數(shù)列,前n項(xiàng)和為Tn,求證:對任意n∈N*,Tn,Tn+1,Tn+2不能構(gòu)成等比數(shù)列.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)已知數(shù)列{an}中,a1=1,且滿足an+1=3an+1,n∈N*,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式
(2)已知數(shù)列{an}中,a1=2,an=
an-12an-1+1
(n≥2)
,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=3n2-2n,求證數(shù)列{an}成等差數(shù)列.
(2)已知
1
a
1
b
,
1
c
成等差數(shù)列,求證
b+c
a
,
c+a
b
,
a+b
c
也成等差數(shù)列.

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